Bewijzen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 28-10-'07, 01:19

Compa

Berichten: 63

Bewijzen

Hallo allemaal,

Over 3 dagen heb ik tentamen over vlakke meetkunde, waar je onder andere moet gaan bewijzen.

Nu heeft onze docent een proeftoets gegeven, en bij sommige vragen kom ik echt niet uit.

Hier een voorbeeld:



Vraag 1) Bewijs de volgende bewering: In een rechthoekige driehoek met een hoek van 30 graden is de kleinste rechthoekszijde gelijk aan de helft van de schuine zijde. Je mag hierbij geen gebruik maken van sinus, cosinus of tangens.

Als ik zo een vraag begin te lezen, dan heb ik dus geen idee waar je moet beginnen en wat je moet doen. Moet je dan bijvoorbeeld een lijn evenwijdig trekken aan CB? of moet je een zwaartelijn tekenen vanuit A? kortom waar moet je beginnen? Hieronder is de driehoek te zien. Hoek C is uiteraard 30 graden.

[url="http://img99.imageshack.us/my.php?image=driehoekws1.jpg"]Afbeelding[/url]

en dit is vraag 2) ABCD is een willekeurige vierhoek. Erin getekend zijn de bissectrices van de vier hoeken.

Deze sluiten vierhoek EFGH in.

Bewijs dat hoek GHE = hoek BFE.

Ik heb geleerd dat de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde gelijk is aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde. Maar ik denk niet dat het handig is om het hier te gebruiken. Of heb ik het verkeerd?

[url="http://img518.imageshack.us/my.php?image=wiskundevraagpd4.jpg"]Afbeelding[/url]

Anyway, iemand die mij de weg kan wijzen ben ik hartelijk dankbaar.

MVG

C.K
Omhoog

Bericht 28-10-'07, 09:40

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Bewijzen

Vraag 1) Bewijs de volgende bewering: In een rechthoekige driehoek met een hoek van 30 graden is de kleinste rechthoekszijde gelijk aan de helft van de schuine zijde. Je mag hierbij geen gebruik maken van sinus, cosinus of tangens.
Hint: Spiegel punt B t.o.v. de lijn AC zodat je hiermee een gespiegelde driehoek kan tekenen. Beide driehoeken samen vormen een nieuwe driehoek. Wat weet je van deze driehoek?

Bij de tweede vraag zal ik nog even kijken voor een hint...
Omhoog

Bericht 28-10-'07, 10:35

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Bewijzen

Voor vraag 2:
2.png
2.png (26.96 KiB) 154 keer bekeken
We weten dat:
\(2 \cdot \alpha +2 \cdot \beta +2 \cdot \gamma +2 \cdot \delta =360^o \rightarrow\)
\(\alpha + \beta = 180^o - ( \gamma+ \delta)\)
Druk nu hoeken
\( \angle BFE \)
en
\( \angle GHE \)
uit in
\( \alpha\ \beta\ \gamma \)
en
\( \delta \)
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 28-10-'07, 12:20

Compa

Berichten: 63

Re: Bewijzen

EvilBro schreef:Hint: Spiegel punt B t.o.v. de lijn AC zodat je hiermee een gespiegelde driehoek kan tekenen. Beide driehoeken samen vormen een nieuwe driehoek. Wat weet je van deze driehoek?

Bij de tweede vraag zal ik nog even kijken voor een hint...
Hartelijk bedankt voor uw hulp. Dit is dus ook waar ik aan gedacht had, een spiegeling van de driehoek.

Want dan krijg je bij hoek C 60 graden en je weet dat hoek B 60 graden is en dus is het een gelijkzijdige driehoek. Maar waar ik toen tegen opbotste was of je niet hoefde te bewijzen dat ze congruent waren. Dus als ik gewoon in 't tentamen erbij had gemeld van: een spiegeling van punt B t.o.v de lijn AC, en zo verder ging uitleggen zou dat dan genoeg geweest zijn?
Omhoog

Bericht 28-10-'07, 12:34

HosteDenis

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Bewijzen

Compa schreef:Hartelijk bedankt voor uw hulp. Dit is dus ook waar ik aan gedacht had, een spiegeling van de driehoek.

Want dan krijg je bij hoek C 60 graden en je weet dat hoek B 60 graden is en dus is het een gelijkzijdige driehoek. Maar waar ik toen tegen opbotste was of je niet hoefde te bewijzen dat ze congruent waren. Dus als ik gewoon in 't tentamen erbij had gemeld van: een spiegeling van punt B t.o.v de lijn AC, en zo verder ging uitleggen zou dat dan genoeg geweest zijn?
Ik denk dat een antwoord als volledig beschouwd kan worden als het het volgende vermeldt:

- We spiegelen de driehoek
\(ABC\)
om de spiegelas
\(AC\)
.

- De hoeken
\(C_1\)
en
\(C_2\)
vormen samen de hoek
\(C\)
, die gelijk is aan
\(60^{\circ}\)
.

- Door de spiegeling bekomen we een gelijkbenige driehoek, waarbij
\( \left| BC \right| = \left| B'C \right| \)
.

- Een gelijkbenige driehoek betekent gelijke basishoeken =>
\( 180^{\circ} - C - B - B' = 120^{\circ}\)
en dus zijn de hoeken
\(B\)
en
\(B'\)
gelijk aan
\(60^{\circ}\)
.

- De driehoek
\(BB'C\)
is gelijkzijdig.

- In een gelijkzijdige driehoek staat de zwaartelijn loodrecht op de basis.

-
\(AC\)
of de zwaartelijn van
\(BB'C\)
verdeelt
\(BB'\)
in twee gelijke lijnstukken, waardoor
\(AC\)
net zolang is als de helft van gelijke welke zijde van
\(BB'C\)
, alsook de zijde
\(BC\)
.

Q.E.D.

Tenzij ik een fout maakte natuurlijk. Ik denk wel dat je het minder omslachtig had kunnen formuleren, maar we willen duidelijk zijn hé.

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."
Omhoog

Bericht 28-10-'07, 14:19

Compa

Berichten: 63

Re: Bewijzen

HosteDenis schreef:Ik denk dat een antwoord als volledig beschouwd kan worden als het het volgende vermeldt:

- We spiegelen de driehoek
\(ABC\)
om de spiegelas
\(AC\)
.

- De hoeken
\(C_1\)
en
\(C_2\)
vormen samen de hoek
\(C\)
, die gelijk is aan
\(60^{\circ}\)
.

- Door de spiegeling bekomen we een gelijkbenige driehoek, waarbij
\( \left| BC \right| = \left| B'C \right| \)
.

- Een gelijkbenige driehoek betekent gelijke basishoeken =>
\( 180^{\circ} - C - B - B' = 120^{\circ}\)
en dus zijn de hoeken
\(B\)
en
\(B'\)
gelijk aan
\(60^{\circ}\)
.

- De driehoek
\(BB'C\)
is gelijkzijdig.

- In een gelijkzijdige driehoek staat de zwaartelijn loodrecht op de basis.

-
\(AC\)
of de zwaartelijn van
\(BB'C\)
verdeelt
\(BB'\)
in twee gelijke lijnstukken, waardoor
\(AC\)
net zolang is als de helft van gelijke welke zijde van
\(BB'C\)
, alsook de zijde
\(BC\)
.

Q.E.D.

Tenzij ik een fout maakte natuurlijk. Ik denk wel dat je het minder omslachtig had kunnen formuleren, maar we willen duidelijk zijn hé.

Denis
ahaa, dit is echt duidelijk ja. Bedankt voor de moeite. eigenlijk valt het wel mee als ik hem nu zo zie :D , maar eerst had ik dus echt geen idee. Hartstikke bedankt!!
Omhoog

Bericht 28-10-'07, 14:29

Compa

Berichten: 63

Re: Bewijzen

dirkwb schreef:Voor vraag 2:

[attachment=738:2.png]

We weten dat:
\(2 \cdot \alpha +2 \cdot \beta +2 \cdot \gamma +2 \cdot \delta =360^o \rightarrow\)
\(\alpha + \beta = 180^o - ( \gamma+ \delta)\)
Druk nu hoeken
\( \angle BFE \)
en
\( \angle GHE \)
uit in
\( \alpha\ \beta\ \gamma \)
en
\( \delta \)
Hmm, eerlijk gezegd snap ik het niet. Ik snap dit wel:
\(2 \cdot \alpha +2 \cdot \beta +2 \cdot \gamma +2 \cdot \delta =360^o \rightarrow\)
\(\alpha + \beta = 180^o - ( \gamma+ \delta)\)
Maar hoezo moet men dit weten? En hoe bedoelt u met: Druk nu hoeken
\(\angle BFE \)
en
\( \angle GHE \)
uit in
\(\alpha\ \beta\ \gamma \)
en
\( \delta \)
Dus bijvoorbeeld:
\(\angle BFE \)
= 180 - Beta-...?
Omhoog

Bericht 28-10-'07, 16:03

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Bewijzen

Druk de hoeken uit in de gegeven hoeken
\(\alpha\ \beta\ \gamma \)
en
\( \delta \)
dan zul je zien dat de hoeken aan elkaar gelijk zijn omdat er geldt:
\(\alpha + \beta = 180^o - ( \gamma+ \delta)\)
De laatste regel in je post is inderdaad de goede weg.
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 28-10-'07, 20:40

Compa

Berichten: 63

Re: Bewijzen

dirkwb schreef:Druk de hoeken uit in de gegeven hoeken
\(\alpha\ \beta\ \gamma \)
en
\( \delta \)
dan zul je zien dat de hoeken aan elkaar gelijk zijn omdat er geldt:
\(\alpha + \beta = 180^o - ( \gamma+ \delta)\)
De laatste regel in je post is inderdaad de goede weg.
Ooh, Nu zie ik hem!
\(\angle GHE = \angle DHA \)
en
\( \angle DHA = 180^0 - \delta - \gamma\)
dus
\( \angle GHE = 180^0 - \delta - \gamma\)
\(\angle BFE = 180^0 - \angle GFE \)
en
\( \angle GFE = 180^0 - (\alpha + \beta)\)
Je krijgt dus dan:
\( \angle BFE = 180^0 - ( 180^0-(\alpha + \beta))\)
Dit leidt tot:
\( \angle BFE = \alpha + \beta \)
Maar is dit toevallig dat deze 2 hoeken zo uitkomen of geldt dat bij elk paar hoeken hier?

Hartelijk bedankt dat u mij geholpen heeft
Omhoog

Bericht 28-10-'07, 20:57

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Bewijzen

Je uitwerking is perfect! Als je de tekening met de gevraagde hoeken "90 graden draait" dan ontstaat dezelfde situatie, maar belangrijker is dat je dit snapt en dat je zulke vragen anders zal bekijken in de toekomst!
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”