\(\frac{1}{{\left( {1 + z^2 } \right)^n }} = \frac{1}{{\left( {z + i} \right)^n \left( {z - i} \right)^n }}\)
\({\mathop{\rm Res}\nolimits} \left( {f,i} \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} \left( {\frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!}}\frac{{\mbox{d}^{n - 1} }}{{\mbox{d}z^{n - 1} }}\frac{{\left( {z - i} \right)^n }}{{\left( {z + i} \right)^n \left( {z - i} \right)^n }}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} \left( {\frac{{\mbox{d}^{n - 1} }}{{\mbox{d}z^{n - 1} }}\frac{{\left( {z + i} \right)^{ - n} }}{{\left( {n - 1} \right)!}}} \right)\)
Het is misschien moeilijk om die (n-1)-de afgeleide direct te 'zien'.
Je kan best de eerste drie afgeleides even berekenen, dat geeft:
\(\left( {\left( {z + i} \right)^{ - n} } \right)^\prime = - n\left( {z + i} \right)^{ - n - 1} \)
\(\left( {\left( {z + i} \right)^{ - n} } \right)^{\prime \prime} = - n\left( { - n - 1} \right)\left( {z + i} \right)^{ - n - 2} = n\left( {n + 1} \right)\left( {z + i} \right)^{ - n - 2} \)
\(\left( {\left( {z + i} \right)^{ - n} } \right)^{\prime \prime \prime} = n\left( {n + 1} \right)\left( { - n - 2} \right)\left( {z + i} \right)^{ - n - 3} = - n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {z + i} \right)^{ - n - 3} \)
Als je het eerder ziet, des te beter natuurlijk. Er is telkens een tekenwisseling en het is positief bij even n, dat is een factor (-1)^n. Er komt een product van n(n+1)...(n+(n-2)) = (2n-2)!/(n-1)!. De macht wordt uiteindelijk -n-(n-1) = -2n+1. Er stond al een 1/(n-1)! uit de formule, samen geeft dat:
\({\mathop{\rm Res}\nolimits} \left( {f,i} \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} \frac{{\left( { - 1} \right)^n \left( {2n - 2} \right)!}}{{\left( {\left( {n - 1} \right)!} \right)^2 \left( {z + i} \right)^{2n - 1} }} = \frac{{\left( { - 1} \right)^n \left( {2n - 2} \right)!}}{{\left( {\left( {n - 1} \right)!} \right)^2 \left( {2i} \right)^{2n - 1} }}\)
Ik laat de faculteiten even vallen en vereenvoudig de rest:
\(\frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{\left( {2i} \right)^{2n - 1} }} = \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{2^{2n - 1} i^{2n - 1} }} = \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{2^{2n - 1} i^{2n} i^{ - 1} }} = \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{2^{2n - 1} \left( { - 1} \right)^n i^{ - 1} }} = 2^{1 - 2n} i\)
Voor de integraal moet je nu nog vermenigvuldigen met 2.pi.i (residustelling), dus:
\(2\pi i{\mathop{\rm Res}\nolimits} \left( {f,i} \right) = 2\pi i2^{1 - 2n} i\frac{{\left( {2n - 2} \right)!}}{{\left( {\left( {n - 1} \right)!} \right)^2 }} = - \pi 2^{2 - 2n} \frac{{\left( {2n - 2} \right)!}}{{\left( {\left( {n - 1} \right)!} \right)^2 }}\)
Tot slot delen door 2, dit geldt voor -inf tot inf en we hebben even functie van 0 tot inf:
\(\int_0^{ + \infty } {\frac{1}{{\left( {1 + x^2 } \right)^n }}\,\mbox{d}x} = - \pi 2^{2 - 2n} \frac{{\left( {2n - 2} \right)!}}{{\left( {\left( {n - 1} \right)!} \right)^2 }}\)
Dit resultaat lijkt te kloppen, op het minteken na. Ik heb geen zin er terug helemaal door te gaan, het zoeken van het tekenfoutje laat ik aan jou over
