Voor ons profielwerkstuk over bruggen hebben we een ruwe voorbeeld berekening gemaakt voor een maximale lengte van de draagkabel bij een hangbrug.
We hebben de massa van het wegdek en andere kabels niet meegerekend, dus dan beschrijft de kabel (als het goed is) een kettinglijn.
Nu is formule voor een kettinglijn voor zover wij weten
\(y=a\cdot\cosh\left (\frac{x}{a} \right)\)
De booglengte is dus L (de waarde voor L is in ons voorbeeld uitgekomen op 4962 (m))
en we weten dat de verhouding H/S is 1/10
We hebben ook hoek A uitgerekent, maar we dachten dat die hier niet zoveel zou helpen. (A was ongeveer 67 graden)
Nu nemen we de formule om de booglengte uit te rekenen
\(L=\int_{b}^{c}\sqrt{1+(f'(x))^{2}}dx (= 4962)\)
(b en c i.p.v. a en b, want we gebruiken a al... beetje verwarrend)We weten dat de top van de grafiek van
\(y=a\cdot\cosh\left (\frac{x}{a} \right)\)
de y-as snijdt in \(y=a\)
We hoopten eigenlijk dat we nu de lengte van S moesten kunnen berekenen, maar dat gaat toch niet zo soepel.Ik dacht dat de primitieve van
\(y=a\cdot\cosh\left (\frac{x}{a} \right)\)
iets moest zijn als \(Y=a^{2}\cdot\sinh\left (\frac{x}{a} \right)\)
En dan zouden we krijgen \(L=\int_{b}^{c}\sqrt{1+(a^{2}\cdot\sinh\left (\frac{x}{a} \right))^{2}}dx (= 4962)\)
Om het wat makkelijker te maken willen we ons alleen bezig houden met één helft van de grafiek (\([0,\rightarrow\rangle\)
), dus even zo\(l=\frac{1}{2}L\)
en dan \(l=\int_{o}^{c}\sqrt{1+(a^{2}\cdot\sinh\left (\frac{x}{a} \right))^{2}}dx (= 2481)\)
Tussendoor dachten we a te kunnen berekenen m.b.v. de verhouding van H/S door te zeggen \(b=\frac{1}{2}S=5t\)
en \(y=h+a=1t+a\)
Dit vervolgens invullen in \(y=a\cdot\cosh\left (\frac{x}{a} \right)\)
geeft \(1t+a=a\cdot\cosh\left (\frac{5t}{a} \right)\)
In de GR vulden we dit in:\(y1=x\cdot\cosh\left (\frac{5}{x} \right)\)
\(y2=1+x\)
We lieten de GR de x van het snijpunt berekenen en dit kwam op x=12,66de a zou dus 12.66 zijn en de formule die bij onze draagkabel van de brug hoort is dan
\(y=12.66\cdot\cosh\left (\frac{x}{12.66} \right)\)
Nu weten we alleen niet of dit wel klopt (en of het überhaupt zo mag 
)maar in ieder geval hebben we nu deze a
nu voeren we die in in de formule voor de booglengte
\(l=\int_{o}^{c}\sqrt{1+(12.66^{2}\cdot\sinh\left (\frac{x}{12.66} \right))^{2}}dx (= 2481)\)
op dit punt zitten we nu zo'n beetje vast. we zijn al niet zo'n ster in primitiveren en we weten dus ook niet zeker hoe we dit verder moeten oplossen zodatw e de waarde van x kunnen vinden. waarschijnlijk zien we gewoon iets over het hoofd.we weten in ieder geval wel dat de x kleiner is dan 2481
dus: hoe lossen we dit op? (als er al geen fouten in zitten):
\(l=2481=\int_{o}^{c}\sqrt{1+(12.66^{2}\cdot\sinh\left (\frac{x}{12.66} \right))^{2}}dx\)
of... hoe krijgen we dit geprimitiveerd zodat het zo'n geval is tussen haken \([wat dan ook]_{o}^{c}=2481\)
?Bij voorbaat dank
