Variaties, coordinatentransformaties etc

Rudeoffline

Hoi, ik heb wat conceptuele moeilijkheden met variaties, coordinatentransformaties en dergelijke. Ik hoop dat iemand hier me kan helpen.

Ik ben bezig met wat zaken over Noether's methodes enzo ( kortgezegd wil ik wat identiteiten voor Noetherstromen afleiden ). Hierbij gebruik ik onder andere het boek van Tomas Ortin, "gravity and strings". Nou heb ik moeite met het volgende.

Om de bewegingsvergelijkingen af te leiden stel je dat de actie invariant is onder een willekeurige variatie van je veld

\( \delta\phi \)

. Ortin, en ook andere teksten, definieren die variatie als volgt:

\(\delta\phi = \phi^{'}(x) - \phi(x)\)

wat volgens Ortin het volgende betekent: Hier wordt het veld berekend in 2 verschillende punten, waarvan de coordinaten hetzelfde zijn in de 2 verschillende coordinatenstelsels.

Dan definieren ze ook nog een andere variatie:

\(\tilde{\delta}\phi = \phi^{'}(x^{'}) - \phi(x) \)

Dit omschrijft Ortin als "hier wordt het veld berekend in hetzelfde punt in 2 verschillende coordinatenstelsels". De relatie tussen die 2 variaties kan ik afleiden, maar ik snap niet zo goed wat er nu precies gebeurt.

Zou voor een scalair veld

\(\phi\)

bijvoorbeeld dan niet altijd gelden

\(\tilde{\delta}\phi = 0\)

? Hij rekent bijvoorbeeld

\( \tilde{\delta} S \)

uit, waarbij S de actie is, maar daar zou dan altijd 0 uit moeten komen als S een scalar is, toch?

En dan de vraag: wat doe je nu precies als je die velden "willekeurig varieert" om de bewegingsvergelijkingen mee af te leiden? Wat doe je met de coordinaten?

Ik hoop dat iemand hier wat duidelijkheid over kan geven. Als het topic hier niet goed staat mag het ook naar wiskunde.

Rudeoffline

Het is misschien aardig om ook nog te vermelden dat er zoiets als een General Coordinate transformation wordt gedefinieerd via

\(\delta x = x^{'} - x\)

en een transformatie

\(\tilde{\delta} x = x^{'} - x\)

waarbij me niet helemaal duidelijk is wat nou precies het verschil is tussen die 2. Het zijn toch beide keren fysisch hetzelfde punt, maar dan in andere coordinatenstelsels?

En dan kom je op het verschil uit tussen actieve en passieve coordinatentransformaties, wat me ook nooit helemaal duidelijk is geweest.

eendavid

Ik heb Ortin niet gelezen (heb hem wel even bij de hand genomen om je eerste vraag te beantwoorden), dus vergeef me mijn mogelijke fouten.

Zou voor een scalair veld
\(\phi\)
bijvoorbeeld dan niet altijd gelden
\(\tilde{\delta}\phi = 0\)
? Hij rekent bijvoorbeeld
\( \tilde{\delta} S \)
uit, waarbij S de actie is, maar daar zou dan altijd 0 uit moeten komen als S een scalar is, toch?

Dit lijkt me enkel triviaal wanneer je enkel de coördinaten transformeert. Hou er rekening mee dat er ook een transformatie van de velden (niet per se scalaire velden) kan zijn. Denk bijvoorbeeld aan een rotatie van een vector ofzo. Als S invariant is onder de actie van deze inwendige operator, dan moet 0 bekomen worden. Dat hoeft echter niet zo te zijn, doe bijvoorbeeld een pariteitsoperatie in elektrozwakke theorieën. De werkelijke fysica zit niet in de coördinaattransformaties, maar in de inwendige transformaties.

En dan de vraag: wat doe je nu precies als je die velden "willekeurig varieert" om de bewegingsvergelijkingen mee af te leiden? Wat doe je met de coordinaten?

Dit is net hetzelfde als bij variatierekening van klassieke theorieën. Of bij velden: denk aan de snaar. Het is niet de bedoeling hier met coördinaattransformaties te werken. Je coördinaten zijn een soort index van het veld (je kan een snaar zien als een limiet van N deeltjes voor grote N), en je eist dat een infinitesimale verandering van het veld onder de correcte randvoorwaarden geen verandering geeft in de actie. In een N-deeltjessysteem betekent dit dat je varieert door de variabele

\(x_i\)

een klein beetje te veranderen. Bij een veld betekent dit dat je

\(\phi_x\)

(opzettelijk onconventionele notatie voor analogie) een klein beetje verandert.

Ivm post #2, ik weet niet precies wat dat onderscheid is. Maar het onderscheid tussen een actieve en een passieve transformatie ken je, en is opnieuw een veralgemening van een duidelijk begrip. Bekijk een staaf die in een vlak ligt (met 1 punt in de oorsprong). Je kan deze staaf rond de oorsprong roteren. Haar eindpunt zal dan nieuwe coördinaten krijgen. Dit is een actieve rotatie. Je kan eveneens je assen (over eenzelfde hoek) in de tegengestelde richting dragen. Het eindpunt van de staaf zal dan nieuwe coördinaten krijgen, dezelfde als daarnet. Dit is een passieve rotatie. Exact hetzelfde geldt voor de abstractere velden. Ofwel verander je de velden door een of andere operatie, ofwel verander je je basissen van de velden.

Rudeoffline

Dank je voor je antwoord, ik ben weer een stukje dichterbij pi.gif

Ik begrijp het idee tussen een actieve en passieve coordinatentransformatie, maar vaak wordt geclaimd dat die 2 ideeën uitwisselbaar zijn en dat het een manier van aankijken is. Dan wordt wel es beweerd dat je feitelijk een actieve transformatie induceert met een pull-back, en een passieve met een gewone coordinatentransformatie. Dit zie ik niet helemaal in, aangezien voor mijn gevoel die 2 exact hetzelfde zijn voor mijn gevoel als je diffeomorfisme op hetzelfde manifold blijft. Er zit in mijn hoofd een wezenlijk verschil tussen een punt echt fysisch opschuiven, en je coordinaten veranderen. Nog wel een vraagje over

\(\delta\phi\)

: Ik snap dat je hier de velden verandert om de bewegingsvergelijkingen af te leiden. Maar waarom moeten die 2 coordinaten in de verschillende stelsels hetzelfde zijn? Waarom kun je dan niet 2 willekeurige coordinaten nemen ?

Ik heb hier aantekeningen liggen van Aldrovandi en Pereira, "classical fields", waarin volgens mij een beetje apart met de notatie wordt omgesprongen, misschien dat ik daardoor in de war ben.

Om die zogenaamde relatie tussen

\(\delta\)

en

\(\tilde{\delta}\)

uit te rekenen, stellen Aldrovandi en Pereira in eerste orde dat

\(\partial_{\mu}(\delta\phi)=0\)

, maar ik zie niet in hoe je dat kunt rechtvaardigen. Dat je de variatie en differentiatie kunt commuteren begrijp ik, maar waarom je zomaar die variatie constant mag houden zie ik niet in ( en de aantekeningen kennen een andere notatie dan hierboven, zij gebruiken voor de

\(\delta\)

hierboven een zogenaamde

\(\overline{\delta}\)

wat ze een "change in the functional form" noemen).

Rudeoffline

Ik bekijk de boel nu even met Lie-afgeleides en pull-backs. Stel ik heb een willekeurig veld

\(\psi\)

en een pull-back

\(\phi_{t}\)

( ff een switch van notatie ), kan ik dan stellen dat

\(\delta\psi = \psi^{'}(x) - \psi(x) = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{t}[\phi_{t}^{*}\psi(\phi_{t}(x)) - \psi(x)]\)

en

\(\tilde{\delta}\psi = \psi^{'}(x^{'}) - \psi(x) = \limt_{t \rightarrow 0}\frac{1}{t}[\phi^{*}_{t}\psi(x) - \psi(x)]\)

?

eendavid

Ik begrijp het idee tussen een actieve en passieve coordinatentransformatie, maar vaak wordt geclaimd dat die 2 ideeën uitwisselbaar zijn en dat het een manier van aankijken is. Dan wordt wel es beweerd dat je feitelijk een actieve transformatie induceert met een pull-back, en een passieve met een gewone coordinatentransformatie. Dit zie ik niet helemaal in, aangezien voor mijn gevoel die 2 exact hetzelfde zijn voor mijn gevoel als je diffeomorfisme op hetzelfde manifold blijft. Er zit in mijn hoofd een wezenlijk verschil tussen een punt echt fysisch opschuiven, en je coordinaten veranderen.

Het heeft een duidelijk verschillende betekenis, daarin heb je gelijk. Maar de praktische berekening is dezelfde. Dat een passieve transformatie een gewone coördinaattransformatie is vind je allicht ok: je voert nieuwe coördinaten in en je kijkt hoe de componenten veranderen. En dat verhaal met de pull back is ook niet ingewikkeld. De transformatie geïnduceerd op de componenten door de pullback zorgt voor een nieuwe tensor (of om het even wat) in de oorspronkelijke coördinaten, wat dus een actieve transformatie is. Als je er even een blaadje papier bij neemt (en ermee rekening houdt dat je in tegengestelde richting moet draaien zoals bij de staaf (dwz je moet op de assen de inverse transformatie toepassen)) dan zie je onmiddellijk in waarom de componenten op dezelfde manier transformeren, en het vanuit praktisch oogpunt dus weinig verschil maakt wat je uitsteekt.

Nog wel een vraagje over
\(\delta\phi\)
: Ik snap dat je hier de velden verandert om de bewegingsvergelijkingen af te leiden. Maar waarom moeten die 2 coordinaten in de verschillende stelsels hetzelfde zijn? Waarom kun je dan niet 2 willekeurige coordinaten nemen ?

Waarom zou je de index variëren? Dat is dezelfde vraag als: 'In een N-deeltjessysteem varieert men enkel de posities van de deeltjes, waarom varieert men de index i niet?' De coördinaten zijn geen dynamische veranderlijken! Nu is je integraal invariant onder coördinaattransformaties, dus je kan willekeurige coördinaten nemen, maar je varieert enkel wat je wil berekenen: het veld in elke positie.

ivm #5, ik denk niet dat je een pullback

\(\phi_t\)

hebt, wel een coördinatentransformatie. Volgens mij ben je een beetje slordig geweest (dat delen door t zal allicht 1 of andere definitie zijn, daar zit het probleem allicht niet). Ik bekom

\(\delta\psi = \psi^{'}(x) - \psi(x) =\lim_{t \rightarrow 0}\left[ \phi_{t}_{*}\psi(x) - \psi(x) \right]\)

en

\(\tilde{\delta}\psi = \psi^{'}(x^{'}) - \psi(x) = \limt_{t \rightarrow 0}[\phi_{t}_{*}\psi(\phi_t(x)) - \psi(x)]\)

Dat betekent dat allicht (ik heb het niet nagerekend) op coördinaten na hetzelfde als jouw formules met een minteken, zoals ook in hoofdstuk 1 een minteken voor de Lie afgeleide staat.

Rudeoffline

Dank je wel voor je antwoorden, ik ben nu een heel stuk verder ! Het is grappig dat je al zo lang met dergelijke dingen als tensorvelden enzo werkt, en dat dit soort dingen dan toch zo lang onbegrijpelijk blijven.

Ik geloof trouwens wel dat je in je uitdrukking voor

\(\delta\psi\)

het argument van het eerste veld ook nog es moet transformeren, iets wat jij niet doet geloof ik. Je evalueert immers het veld in de coordinaat

\(\phi_{t}(x)\)

en trekt daarna het hele veld met

\(\phi^{*}_{t}\)

weer terug. Dat is ook de essentie van de Lie-afgeleide, dacht ik.

Maar ik kan in ieder geval weer verder, nogmaals bedankt !

eendavid

Ik heb het nog eens bekeken, ik denk dat we verschillende notaties gebruiken. Ik werk zoals hier, en ik had voor de duidelijkheid beter geschreven

\(\delta\psi = \psi^{'}(x) - \psi(x) =\lim_{t \rightarrow 0}\left[ (\phi_{t}_{*}\psi)(x) - \psi(x) \right]\)

en

\(\tilde{\delta}\psi = \psi^{'}(x^{'}) - \psi(x) = \limt_{t \rightarrow 0}[(\phi_{t}_{*}\psi)(\phi_t(x)) - \psi(x)]\)

Waarschijnlijk zijn we het dan toch eens? (ik wordt er nl. gek van als ik fouten begin te maken in dergelijke dingen)

Rudeoffline

eendavid schreef:Ik heb het nog eens bekeken, ik denk dat we verschillende notaties gebruiken. Ik werk zoals hier, en ik had voor de duidelijkheid beter geschreven

\(\delta\psi = \psi^{'}(x) - \psi(x) =\lim_{t \rightarrow 0}\left[ (\phi_{t}_{*}\psi)(x) - \psi(x) \right]\)
en

\(\tilde{\delta}\psi = \psi^{'}(x^{'}) - \psi(x) = \limt_{t \rightarrow 0}[(\phi_{t}_{*}\psi)(\phi_t(x)) - \psi(x)]\)
Waarschijnlijk zijn we het dan toch eens? (ik wordt er nl. gek van als ik fouten begin te maken in dergelijke dingen)

Ja, ik geloof dat jouw linkje iets andere notatie gebruikt. Ze noemen daar het argument niet expliciet. Ik heb zelf hier onder andere het boek van Gron en Hervik over algemene relativiteit liggen, die noteren het wat anders. Als ik de variatie

\(\delta\psi\)

bijvoorbeeld voor een 1-form met mijn notatie uitwerk, dan kom ik precies op die Lie-afgeleide met het minteken uit.

Rudeoffline

Maar een vraag die dan bij me naar boven komt: waarom worden er dan Lie-afgeleides gebruikt om coordinatentransformaties te induceren?

Een voorbeeldje is bijvoorbeeld om bepaalde voorwaarden voor je Lagrangiaanse dichtheid op te stellen. Wat mensen als Inverno dan bijvoorbeeld doen is een coordinatentransformatie induceren met een Lie-afgeleide, en eisen dat de boel invariant blijft. Als het hier nou om een passieve coordinatentransformatie ging, dan kon ik dat begrijpen, want dan verandert de fysica niet; alleen je beschrijving ervan verandert. Je actie is een scalar, en onder een coordinatentransformatie mag deze niet veranderen. Maar ik zit nou met het idee in mijn hoofd dat een Lie-afgeleide je punt fysisch verandert; je hebt het over 2 verschillende punten, maar die geef je dezelfde coordinaat mee.

Dit heeft vast en zeker iets te maken met de uitwisselbaarheid van de begrippen "passieve transformatie" en "actieve transformatie", maar hoe het nou precies zit begrijp ik niet.

eendavid

dan kom ik precies op die Lie-afgeleide met het minteken uit.

ok, dan zijn we beiden gelukkig pi.gif

Maar ik zit nou met het idee in mijn hoofd dat een Lie-afgeleide je punt fysisch verandert; je hebt het over 2 verschillende punten, maar die geef je dezelfde coordinaat mee.

Ik heb Inverno helaas niet bij me, je vraag is me niet 100% duidelijk. Maar met wat je hier schrijft ben ik het niet eens. Als je naar de link die ik hierboven gaf kijkt, zie je dat er bij de Lie-afgeleide evaluatie is in 1 punt. Je hebt gebruik gemaakt van een coordinatentransformatie om het nieuwe veld te bekomen, maar je zit in 1 punt.

Even voor de duidelijkheid: ik zie de Lie-afgeleide het liefst zo:

\((\mathcal{L}u)(m)=\frac{\phi_t^*u-u}{t}(m)\)

Rudeoffline

eendavid schreef:ok, dan zijn we beiden gelukkig pi.gif

Ik heb Inverno helaas niet bij me, je vraag is me niet 100% duidelijk. Maar met wat je hier schrijft ben ik het niet eens. Als je naar de link die ik hierboven gaf kijkt, zie je dat er bij de Lie-afgeleide evaluatie is in 1 punt. Je hebt gebruik gemaakt van een coordinatentransformatie om het nieuwe veld te bekomen, maar je zit in 1 punt.

Even voor de duidelijkheid: ik zie de Lie-afgeleide het liefst zo:

\((\mathcal{L}u)(m)=\frac{\phi_t^*u-u}{t}(m)\)

Klopt,je zit in 1 punt. Als je met de ene transformatie het veld "naar voren duwt", dan trek je automatisch het argument mee. Om dan de boel in dezelfde coordinaat te bekijken, moet je dan nog het argument terugtrekken van je getransformeerde veld, en dat kun je dan vergelijken met je oorspronkelijke veld.

Maar laat me de vraag anders stellen.

In een boek als dat van Inverno zeggen ze het volgende: neem een Lagrangiaan, beschouw de metriek als fundamenteel veld, en bekijk

\(\delta S = \int \frac{\delta L}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu}\)

Vervolgens gaan ze zeggen dat de variatie van de actie 0 moet zijn onder een coordinatentransformatie, en dan verkrijg je als resultaat dat

\(\nabla_{\mu} \frac{\delta L}{\delta g_{\mu\nu}} = 0\)

Dat doen ze door voor de variatie in de metriek een Lie-afgeleide te nemen. Dus kennelijk is de Lie-afgeleide hier niks anders dan een coordinatentransformatie.

Maar wat je ook ziet, is dat men de actie voor een deeltje bekijkt, zoiets als

\(S = \int g_{\mu\nu}\dot{x^{\mu}}\dot{x^{\nu}} d^{4}x\)

Die ga je dan varieren, en wonder o wonder, daar komt een Lie-afgeleide uit van de metriek ten opzichte van een vectorveld. Dat vectorveld gebruikte je om je coordinaten te varieren. Hiermee gaan ze symmetrieen van je systeem afleiden, maar ik heb nog steeds het idee dat als je symmetrieen van je systeem wilt afleiden, je ook daadwerkelijk je punt moet opschuiven. Dan kun je kijken of er iets verandert, en als dat het niet doet, dan heb je een symmetrie ( oftewel, een isometrie van je metriek ). Voor mijn gevoel kun je dergelijke symmetrieen niet afleiden door alleen je coordinaten te veranderen.

Snap je mijn punt? Ik heb het idee dat je symmetrieen ten gevolge van je tensoriele aard van je vergelijkingen met passieve transformaties ontsluierd, en dat je symmetrieen in de ruimte-tijd zelf met actieve transformaties uitvoert. Die actieve transformaties doe je in mijn ogen met Lie-afgeleides. Als je een transformatie in je ruimte-tijd wilt bekijken, moet je er immers doorheen bewegen, in dit geval doe je dat met pullbacks ed. En hier worden die 2 zaken voor mijn gevoel doormekaar gebruikt. Waarom mag dat zomaar? Voor mijn gevoel maakte je nu net onderscheid tussen die 2 transformaties door middel van

\(\delta\)

en

\(\tilde{\delta}\)

.

eendavid

OK. De definitie van een Lie-afgeleide zoals wij ze gebruikten was duidelijk een actief beeld: je transformeert de velden en verandert niets aan je coördinaten. Maar er is niets mis mee om dit passief te bekijken: verander je coördinaten (en bijgevolg je basis in de vezel) 'op een goede manier' (dat is

\(x'=\phi_{-t}(x)\)

), en bekijk hoe de componenten variëren. Dit is exact hetzelfde, en bij beide interpretaties blijf je in 1 punt. Stel bijvoorbeeld dat in je Lagrangiaan niet alle indices gecontraheerd zouden zijn, dan zou in beide gevallen de transformatie aangeven dat de Lagrangiaan verandert onder coördinaattransformaties. Dus de Lie afgeleide kan zowel actief als passief, en geeft hetzelfde resultaat.

Ik hoop dat het wat duidelijk is, ik heb nl. niet het gevoel dat het niet mag, en dan is het moeilijk je in te leven. Of misschien begrijp ik het probleem niet goed. Ikzelf geraak nu in verwarring doordat de Lagrangiaan invariant is onder willekeurige coördinaattransformaties, dus is het me niet duidelijk hoe dit precies specifiekere transformaties kan selecteren.

eendavid

Waarom zou je de index variëren? Dat is dezelfde vraag als: 'In een N-deeltjessysteem varieert men enkel de posities van de deeltjes, waarom varieert men de index i niet?' De coördinaten zijn geen dynamische veranderlijken! Nu is je integraal invariant onder coördinaattransformaties, dus je kan willekeurige coördinaten nemen, maar je varieert enkel wat je wil berekenen: het veld in elke positie.

Een betere analogie: waarom zou je voor deeltjestheorieën de tijd variëren?

edit: Ik heb Inverno gevonden. Het lijkt me toch neer te komen op wat ik zeg: de coördinaattransformatie induceert nieuwe componenten, waaronder de Lagrangiaan invariant moet zijn. Het echte gravitatieveld is een equivalentieklasse van metriek-functies. En een actieve transformatie induceert nieuwe componenten. Indien deze transformatie een symmetrie is, zal er weer een equivalentieklasse zijn wat betreft het berekenen van de lagrangiaan. Dit kan natuurlijk een geheel andere transformatie zijn, bijvoorbeeld omdat je bij je vezel een algebra steekt die niets te maken heeft met je ruimtelijke indices (wat mijn verwarring oplost). Als mijn intuïtie me nu niet in de steek laat, zal je een connectie gebruiken om de interpretatie passief te maken.

haushofer

Ok, ik laat dit even op me inwerken, in ieder geval heel erg bedankt voor de antwoorden ! Als er nog onduidelijkheden zijn dan merk je het gauw genoeg

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Variaties, coordinatentransformaties etc

Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc

Re: Variaties, coordinatentransformaties etc