Vraag (in Engels omdat ik niet een ster ben in het vertalen naar NL):
Find the electric field a distance d from the center of a spherical surface of radius R, which carries a uniform charge density
\(\sigma\)
. Treat the case for d > R. Express your answer in terms of the total charge q on the spehere.Ik heb het antwoord zelf al gevonden, maar zoals meestal het geval is probeer ik nu met een andere aanpak, en liefst los ik het zo ook op:
\(\vec{r}=d \hat{z}\)
\(\vec{r'}=x \hat{x}+y \hat{y}+z\hat{z}\)
is de plaatvector van dq's(of beter da's) die gesommeerd zullen worden.\(\vec{\tau}=\vec{r}-\vec{r'}= -x\hat{x}-y\hat{y}+(d-z)\hat{z} \)
afstandsvector van bron tot punt. \(\vec{\hat{\tau}}\)
is de richting en \(\tau\)
is de grootte.Dan wordt de elektrische veld gegeven door:
\(\vec{E}=\frac{\sigma}{4 \pi \epsilon_0} \int \int_S \frac{\vec{\tau}}{\tau^3} \ dS \)
\(dS= \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \ dy \ dx \)
\(z_1= \sqrt{R^2-x^2-y^2}, \ \ z_2=-\sqrt{R^2-x^2-y^2}\)
Dus de elektrische veld zou moeten zijn:\(\vec{E}=\frac{\sigma}{4 \pi \epsilon_0} [ \left( \int_{-R}^{R} \int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}} \frac{-x\hat{x}-y\hat{y}+(d-z_1)\hat{z}}{\left(x^2+y^2+(d-z_1)^2\right)^{\frac{3}{2}}} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z_1}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z_1}{\partial y}\right)^2} \ dy \ dx \right)\)
+\(\left( \int_{-R}^{R} \int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}} \frac{-x\hat{x}-y\hat{y}+(d-z_2)\hat{z}}{\left(x^2+y^2+(d-z_2)^2\right)^{\frac{3}{2}}} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z_2}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z_2}{\partial y}\right)^2} \ dy \ dx \right) ] \)
Als ik de eenheidsvectoren beschouw als constanten (want dat zijn ze ook in cartetische coördinaten) dan kan ik gaan integreren. Alleen gaat dat niet zo makkelijk ookal vallen de gedeeltes van \(\hat{x}\)
en \(\hat{y}\)
weg.(Tot hier juist?)
Het is natuurlijk leuk als ik dit nu kan omzetten naar sferische coördinaten, maar wat doe ik dan met de eenheidsvectoren?
Moet ik die nou uitdrukken in sferische eenheidsvectoren, of hoeft dat niet?
Laatste vraag: Hoe stel ik de integraal direct in sferische coordinaten op?
