[wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Arie Bombarie

Goede dag,

De opg.:

Transformeer de volgende differentiaalvergelijking naar het s-domein en bepaal F(s), als F(s) de Laplace getransformeerde is van y.

F(s) = 1 / (s² + 2s + 1)

Ik kan hier van maken:

F(s) = 1 / (s + 1)²

Alleen verder weet ik niet goed wat ik moet doen...

dirkwb

Heb je een tabel met inverse laplace transformaties? Deze vorm zou er wel bij moeten staan, als dat niet zo is kijk hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

TD

Zoiets moet je inderdaad waarschijnlijk uit tabellen halen, niet zelf invers transformeren.

Misschien ken je wel enkele belangrijke Laplacetransformaties? Dan zit dit er vast tussen...

Arie Bombarie

Ik heb inderdaad een tabel met een overzicht van de formules, alleen hier kan ik niet eenzelfde soort vorm in vinden...

Wat ik er wel op vind lijken:

Laplace (e^(αt) = 1 / (s - α)

Maar ook deze vorm is anders...

Ik zou dus niet weten hoe ik nu alsnog de inverse laplace getransformeerde functie zou kunnen bepalen...

dirkwb

Zoals ik al eerder zei kijk in de link van wikipedia daar staat de formule in een iets algemener vorm.

Arie Bombarie

Dank je.

Ik heb staan op mijn lijst:

Laplace(f(t)e^(-at)) = F (s - a)

Op Wikipedia staat echter:

Laplace(f(t)e^(at)) = F (s - a)

Alleen; welke is nu juist?

Sjakko

Ik heb ook zo'n tabelletje en bij mij staat deze vorm erin:

\(F(s)=\frac{n!}{\left( s-a \right)^{n+1}}\)

met

\(s>a\)

Dit lijkt me wel de juiste, niet? Er geldt:

inverse Laplace

\(f(t)=t^ne^{at}\)

, n=positive integer

dirkwb

Volgens mij is de tweede juist

Burgie

Tweede is inderdaad juist. Kun je makkelijk controleren.

De Laplacetransformatie van f(t) wordt gedefinieerd als

\(F(s)=\int_0^\infty f(t) e^{-st} \, \mathrm{d}t\)

De Laplacetransformatie van

\(f(t) e^{at}\)

wordt dus:

\(L[f(t) e^{at}](s) = \int_0^\infty f(t) e^{at} e^{-st} \, \mathrm{d}t\)

\(\Rightarrow L[f(t) e^{at}](s) = \int_0^\infty f(t) e^{-(s-a)t} \, \mathrm{d}t\)

Substitutie

\(p=s-a\)

doorvoeren levert:

\(L[f(t) e^{at}](p+a) = \int_0^\infty f(t) e^{-pt} \, \mathrm{d}t\)

\(\Rightarrow L[f(t) e^{at}](p+a) = F(p)\)

Terug overgaan op de oorspronkelijke variabele s:

\(\Rightarrow L[f(t) e^{at}](s) = F(s-a)\)

Arie Bombarie

Bedankt voor alle antwoorden!

Het is gelukt met de formule van Sjakko, alleen nu kom ik niet uit de volgende (zelfde soort) opg:

1 / (s+1)^3

Hier kan ik volgens mij niet de formule van Sjakko voor gebruiken...

Met de formules van Wikipedia kom ik er echter ook niet uit...

Sjakko

Arie Bombarie schreef:Het is gelukt met de formule van Sjakko, alleen nu kom ik niet uit de volgende (zelfde soort) opg:

1 / (s+1)^3

Hier kan ik volgens mij niet de formule van Sjakko voor gebruiken...

Jazeker wel. Gebruik het feit dat

\(L^{-1} \{ c \cdot F(s) \}=c \cdot L^{-1} \{ F(s) \}\)

Arie Bombarie

Dan moet ik er van maken:

1 / (s+1) + (1 / (s+1)^2) ?

Sjakko

Nee, ik bedoel het als volgt:

\(L^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+1)^3} \right\}=L^{-1} \left\{ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(s+1)^3} \right\}=\frac{1}{2} \cdot L^{-1} \left\{ \frac{2}{(s+1)^3} \right\}\)

Het gedeelte tussen de accolades voldoet nu precies aan deze vorm waarmee je de vorige som hebt opgelost.

Arie Bombarie

Gelukt, bedankt!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

[wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies

Re: [wiskunde] inverse laplace getransformeerde functies