Het vraagstuk voor de volledigheid:
Beschouw een 2-dimensionaal star lichaam in het xy-vlak. Dit lichaam heeft traagheidsmomenten
\(I_{xx}\)
en \(I_{yy}\)
en een deviatiemoment \(I_{xy}\)
voor rotaties rond in het xy-vlak gelegen assen die door de oorsprong O gaan. Ga vervolgens over op een nieuw coordinatenstelsel dat gedraaid is over een hoek \(\phi\)
, zodat:\(x' = x \cos{\phi} + y \sin{\phi}\)
\(y' = -x \sin{\phi} + y \cos{\phi}\)
In het nieuwe coordinatenstelsel worden de traagheidsmomenten gegeven door \(I_{y'y'}\)
en \(I_{x'x'}\)
en het deviatiemoment door \(I_{x'y'}\)
. Leid het volgende af:\(I_{x'x'} = \frac{1}{2} [1 + \cos{2 \phi}] I_{xx} +\frac{1}{2} [1 - \cos{2 \phi}] I_{yy} + \sin{2 \phi} I_{xy}\)
met: \(\sin{2 \phi} = 2 \sin{\phi} \cos{\phi}\)
en \(\cos{2 \phi} = \cos^2{\phi} - \sin^2{\phi}\)
Ik ben begonnen met het vertalen van Ixx naar Ix'x'.\(I_{xx} = \sum_i m_i (y_i^2 + z_i^2) = \sum_i m_i y_i^2 \)
\(I_{xx} = \sum_i m_i (x_i^2 + z_i^2) = \sum_i m_i x_i^2 \)
\(I_{xy} = \sum_i m_i (x_i y_i)\)
dus\(I_{x'x'} = \sum_i m_i y'_i^2 = \sum_i m_i (-x_i \sin{\phi} + y_i \cos{\phi})^2\)
kwadraat uitvermenigvuldigen geeft:
\(I_{x'x'} = \sum_i m_i (x_i^2 \sin^2{\phi} + y_i^2 \cos^2{\phi} - 2 x_i y_i \cos{\phi} \sin{\phi})\)
toepassen van de eerste gonio regel geeft dan:\(I_{x'x'} = \sum_i m_i (x_i^2 \sin^2{\phi} + y_i^2 \cos^2{\phi} - x_i y_i \sin{2 \phi})\)
Hier zie ik al een Ixy verschijnen maar dan wel met een minteken en dt moet uiteindelijk niet. Verder heb ik problemen met het uitschrijven, hoe langer ik bezig ben hoe groter de bende wordt. Kan iemand me hierbij helpen?
Op een minteken na krijg je het antwoord uit. Misschien nog eens navragen aan de docent, het kan ook een typfout zijn in je boek.