Fractal dimensies

oscar2

Help. Ik weet niet meer hoe je topologische dimensie berekent. Wie kan de definitie verhelderen?

De (topologische) definitie van dimenie die ik ken is: d = - lim{r->0{log(N®)/log®}.

Daarbij is N® het aantal bollen van straal r dat je nodig hebt om je figuur te overdekken.

B.v. een lijnstuk met lengte 1 kun je overdekken met N® = 1/2r van die bollen.

Daarmee krijg je d = 1. Ook kom je voor de koch-curve op N(1/3^n) = 4^n en dus d = log(4)/log(3).

Allemaal heel mooi. Maar wat wordt eigenlijk bedoeld met "het aantal bollen van straal r dat je nodig hebt".

Het bovengenoemde lijnstuk kan ik (voor r<0.5) ook overdekken met 1/r^2 bollen. Dan krijg ik d = 2.

Dat kan niet de bedoeling zijn. Mijn definitie hierboven klopt dus niet, of is in ieder geval onvolledig.

Het zou kunnen zijn dat bedoeld wordt: N® is het minimale aantal bollen van straal r dat je nodig hebt om je figuur te overdekken. Maar dan wordt het rekenwerk ineens een stuk moeilijker. Ik weet dat ik de koch-curve kan overdekken met 4^n bollen van straal 1/3^n. Maar hoe bewijs ik dat dat het minimale aantal is?

Wie helpt mij aan een definitie die klopt maar ook nog te bepalen is?

Is wordt het dan heel ingewikkeld?

Groet. Oscar.

oscar2

Hoi allemaal,

Is er echt niemand die me kan helpen?

Ik zoek een juiste en bruikbare definitie van de topologische dimensie.

Ik ken het als de limiet van -log(N(e))/log(e) voor kleine e, waarbij N(e) het aantal bollen van straal e is dat je nodig hebt om je verzameling te overdekken.

Je kunt dat mooi toepassen voor een lijn, vierkant, de koch-curve (zie hieronder). Althans, dat lijkt zo. Maar wat mij niet duidelijk wordt is wat er wordt bedoeld met "het aantal ... dat je nodig hebt".

Voorbeeld: voor een lijnstuk met lengte 1, krijg je N(e) = 1/e zodat je inderdaad op een dimensie 1 komt. Maar je kunt ook N(e) = 1/e^2 gebruiken. Dan kom je (foutief) op een dimensie van 2.

Je zou "het aantal" kunnen vervangen door "het minimale aantal", maar dan het wordt dan wel moeilijk om b.v. de dimensie van de koch-curve te berekenen. Hoe bewijs je dat het aantal de je gevonden hebt echt minimaal is.

Wat is de oplossing uit deze impasse?

Groetjes en veel dank. Oscar.

Lucas N

Het zou kunnen zijn dat bedoeld wordt: N® is het minimale aantal bollen van straal r dat je nodig hebt om je figuur te overdekken.

Dat klopt volgens mij. Zie bijv.

http://www.math.sunysb.edu/~scott/Book331/..._Dimension.html

Met een juiste definitie kan ik je niet helpen; er zijn meerdere definities in gebruik, die vaak, maar niet altijd, dezelfde dimensie geven (zie oa link hierboven).

Verder denk ik dat als je je object gaat overdekken met "bollen", je die bollen moet zien als "hyperbollen" of "hyperkubussen"; soms werkt het overdekken al met cirkels of lijnstukjes, bij hoger-dimensionale fractals m.i. niet.

Iets waar ik problemen mee had, is dat je eigenlijk met 2 limieten te maken hebt:

1 je hebt oneindig veel stappen nodig in je voorschrift om de fractal te maken. De Koch-curve heeft voor n=100 nog gewoon dimensie 1.

2 een limiet in je definitie van fractale dimensie.

Een uitweg is m.i. dat je in veel bekende gevallen die limieten kunt laten samenvallen door het kiezen van een geschikte overdekking. Bij de Koch-curve in de n-de stap overdek je bijv met lijnstukjes met grootte (1/3)^n. Dan is het ook niet zo moeilijk in te zien wat je minimum aantal is. (Over bewijzen laat ik me liever niet uit).

Dit werkt m.i. zeker niet altijd. Het ding moet dan "self-similar" zijn.

Voor dat soort gevallen is een praktische definitie :

dimensie=log(aantal meer benodigde overdekkingen, bij een verfijning met factor n) / log(n)

Ik ben slechts een leek op dit gebied, maar reageer, omdat niemand anders het doet. Ik vind het wel boeiende materie.

Mijn pragmatische benadering werkte meestal wel, behalve toen ik het toepaste op een zelf-verzonnen fractal die "zelfdoorsnijdingen" begon te vertonen. Dimensies van Mandelbrot-sets e.d. berekenen kan ik niet.

oscar2

Hoi Lucas,

Bedankt voor je reactie. Ik vrees dat je gelijk hebt. Dat maakt het berekenen van de dimensie dan wel een stuk moeilijker. Want hoe bewijs je dat het gevonden aantal inderdaad minimaal is.

Al de verzameling samenvat met verkleinde kopieen van zichzelf gaat het inderdaad wel.

Groet. Oscar

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Fractal dimensies

Fractal dimensies

Re: Fractal dimensies

Re: Fractal dimensies

Re: Fractal dimensies