Moderators: dirkwb , Xilvo
Berichten: 503
Beste Forumleden,
ik probeer
\( \int \cos(ax) / \cosh(bx) dx \)
te berekenen, de integraal gaat van 0 tot + oneindig. Dit via contourintegratie met 'Limietstelling in een halfoneindige strook'. De verticale stukken vallen weg op oneindig.
Nu is mijn vraag:
1/ in de eerste plaats: ben ik juist bezig ?
2/ hoe moet ik het residu van
\( \cos(az) / \cosh(bz) \)
berekenen?
kan er mss iemand een tip geven?
Ziehier
Alvast bedankt
Bericht
za 15 dec 2007, 22:10 15-12-'07, 22:10
TD
Berichten: 24.578
Dit via contourintegratie met 'Limietstelling in een halfoneindige strook'. De verticale stukken vallen weg op oneindig.
Deze stelling ken ik niet, of niet onder die naam. Ook geen hits op google...
Kan je even toelichten hoe die stelling luidt?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 503
Limietstelling in een strook:
Zij R een rechthoek waarvan een van de rechthoekszijden Cd zich bij stijgende d waarden verwijdert zodat een onhalfeindige straak R* ontstaat. Zij verder f continu in deze strook.
Als nu lim(z -> oneindig) f(z) = 0
waarbij z beperkt blijft tot de strook, dan zal
lim(d-> oneindig)
\( \int f(z) dz = 0 \)
(de integraal over Cd)
Bericht
zo 16 dec 2007, 01:47 16-12-'07, 01:47
TD
Berichten: 24.578
Het residu kan je met behulp van deze limiet bepalen:
\({\mathop{\rm Res}} \left( {\frac{{\cos \left( {ax} \right)}}{{\cosh \left( {bx} \right)}},\frac{{\pi i}}{{2b}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{\pi i}}{{2b}}} \frac{{\cos \left( {ax} \right)}}{{\cosh \left( {bx} \right)}}\left( {x - \frac{{\pi i}}{{2b}}} \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 503
\(\lim(x->(\pi i / 2b) ) [ \cos(ax)* (x - \pi i /2b ) / \cosh(bx) ] = \lim(x->(\pi i / 2b) ) [ \frac{( e^{iax} + e^{-iax} )* (x - \pi i /2b ) }{ ( e^{bx} + e^{-bx} ) } ] = \)
\( \lim(x->(\pi i / 2b) ) \frac{ia*(e^{iax}-e^{-iax})}{b*(e^{bx} - e^{-bx})}\)
\( *(x - \pi i /2b) + \frac{e^{iax} + e^{-iax}}{b*(e^{bx} - e^{-bx})} = 0 + \frac{e^{- \pi a / 2b} + e^{\pi a /2b }}{2ib} = \frac{\cosh(\pi a / 2b)}{ib}\)
klopt dit?
Bericht
zo 16 dec 2007, 17:27 16-12-'07, 17:27
TD
Berichten: 24.578
Dat klopt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 503
Ziehier, voor de geïnteresseerden, na wat rekenwerk, denk ik dat dit het juiste antwoord is.
Bericht
zo 16 dec 2007, 21:51 16-12-'07, 21:51
TD
Berichten: 24.578
En ook dat klopt, prima!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 503
wat ik mij juist nog afvroeg:
\( \cosh(x) = ln( x + (x² -1)^{1/2}) \)
moet er dan geen snede ingevoerd worden in het complexe vlak??
Bericht
ma 17 dec 2007, 14:24 17-12-'07, 14:24
TD
Berichten: 24.578
Jouw rechterlid is de inverse hyperbolische cosinus, met bijvoorbeeld een snede (-
,1).
De hyperbolische cosinus zelf heeft er geen nodig, die is netjes (eenduidig) gedefinieerd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 503
k, bedankt, nu snap ik alles
,1).