Limiet

jan_alleman

Bereken

\(\lim_{n\to\infty}n(a^{\frac{1}{n}}-1)\)

, met

\(a>0\)

.

Ik zit tot aan

\(\lim_{n\to\infty}-n^{2}a^{\frac{1}{n}}ln(a)\)

TD

Heb je de regel van l'Hôpital toegepast?

Volgens mij moet die -n² daar niet staan...

Verplaatst naar huiswerk.

jan_alleman

l'hopital toepassen op (a^(1/n)-1) / (1/n) , dan krijg je dat als ik me niet vergis.

TD

Dit was gewoon herschrijven om in een 'goede' onbepaalde vorm te komen.

Nu teller en noemer afzonderlijk afleiden naar n, dan vereenvoudigen...

Morzon

Kan je je uitwerking posten? Zoveel moeite is dat niet.

jan_alleman

ja als ik vereenvoudig krijg ik wat in mijn eerste post staat, en dat valt niet echt te vereenvoudigen ?

TD

De afgeleide van 1/n is -1/n². Wat is de afgeleide (naar n) van a^(1/n)-1?

Morzon

Ik denk dat je een fout maakt bij differentieren van de teller. Dus nog maals post je uitwerking eens.

edit: TD was alweer sneller

jan_alleman

De afgeleide van 1/n is -1/n². Wat is de afgeleide (naar n) van a^(1/n)-1?

ah shittt, kettingregel. bedankt

De limiet is dan

\(ln(a)\)

, mooi.

TD

Juist, en dan valt n² in teller en noemer weg. Nu nog de limiet nemen, dat geeft...?

Edit, je had al aangevuld:

De limiet is dan
\(ln(a)\)
, mooi.

Klopt!

jan_alleman

Ik denk dat je een fout maakt bij differentieren van de teller. Dus nog maals post je uitwerking eens.

Dat was mijn fout idd.

Safe

Toch even dit:

\(\lim_{n \rightarrow \infty } n( {a}^{ \frac{1 }{ n} } -1)=\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ {a}^{ \frac{1 }{ n} } -1 }{ \frac{1 }{ n} } \)

Stel nu 1/n=h, dan volgt:

\(\lim_{h \downarrow 0 } \frac{ {a}^{h } -1 }{ h }=\lim_{h \downarrow 0 } \frac{ {a}^{h } -a^0 }{ h -0 }\)

En dit is niets anders dan de def van de rechter-afgeleide van f(x)=a^x in x=0.

Wetenschapsforum