Oppervlakteintegraal: flux

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 28-12-'07, 11:38

goldsteen

Berichten: 179

Oppervlakteintegraal: flux

Ik heb hier een opgave waar ik niet uitkom :

Het oppervlak S is het deel van het cilinderoppervlak
\({x}^{2}+{y}^{2}=4\)
dat in het eerste octant en bovendien onder het vlak met vergelijking
\({z=y}\)
ligt.

De eenheidsnormaalvector
\( \vec{n}_{e}\)
van S heeft een positieve tweede component.



Bereken de oppervlakteintegraal
\(\int_{S}\int \vec{F}\cdot{n}_{e} {dS}\)
als het vectorveld
\(\vec{F}\)
gegeven wordt door
\(\vec{F}(x,y,z)=y\vec{e}_{1}+xz\vec{e}_{2}+xy\vec{e}_{3}\)


Kan ik dan het beste op het yz vlak projecteren ??

En kom ik, als tussenstap, uit op:
\(\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{y}({2xy}+{2xyz}){dzdy}\)
??
Omhoog

Bericht 28-12-'07, 12:18

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Oppervlakteintegraal: flux

Ziet er niet goed uit, welke formule ken jij voor dS?
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 28-12-'07, 13:15

goldsteen

Berichten: 179

Re: Oppervlakteintegraal: flux

Ziet er niet goed uit, welke formule ken jij voor dS?
\(\int_{S}\int = \int_{A}\int \frac{1}{cos \gamma }{dS}\)




Maar ik niet snap waar ik de
\({\overrightarrow{e}_{3}\)
vandaan moet halen.



Is de
\({\overrightarrow{n}={2x}\overrightarrow{e}_{1}+{2y}{\overrightarrow{e}_{2}+{0}{\overrightarrow{e}_{3}\)
??

[/size]
Omhoog

Bericht 28-12-'07, 16:02

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Oppervlakteintegraal: flux

Wil je gewoon gebruik maken van
\(\int \int_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ dS\)
dan is het handig als we in cilindercoórdinaten werken:
\(x=2 \cos{\theta}\)
\(y=2 \sin{\theta}\)
\(z=z\)
Dus:
\(\mathbf{r}(x,y,z)=x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2}+z\mathbf{e_3} \rightarrow \mathbf{r}(\theta,z)=2\cos{\theta} \mathbf{e_1}+2\sin{\theta} \mathbf{e_2}+z\mathbf{e_3}\)
waarbij:
\( -\frac{1}{2} \pi \leq \theta \leq 0\)
en
\( 0 \leq z \leq y=2 \sin{\theta}\)
\(dS=|\mathbf{r}_{\theta} \times \mathbf{r}_{z}|dA \)
\(\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}_{\theta} \times \mathbf{r}_{z}}{|\mathbf{r}_{\theta} \times \mathbf{r}_{z}|}\)
(Ik weet alleen niet of het nog de bedoeling is om ook de flux door bovenkant en onderkant erbij te nemen, maar dat zien we van zelf wel)

Probeer het nu eens uit te werken.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 28-12-'07, 16:10

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oppervlakteintegraal: flux

Deze berichten heb ik van de integralentopic afgesplitst. Die is meer bedoeld voor routinewerk, oppervlakteintegralen van een vectorveld kunnen beter in een aparte topic.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 28-12-'07, 21:42

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Oppervlakteintegraal: flux

scan0026.jpg
scan0026.jpg (108.63 KiB) 669 keer bekeken
Omhoog

Bericht 28-12-'07, 23:08

goldsteen

Berichten: 179

Re: Oppervlakteintegraal: flux

@aadkr:

Als ik jou laatste dubbele integraal bereken kom ik uit op
\(\frac{14}{3}\)
en dat klopt met het antwoord in het boek.

En zo te zien zijn de flux aan de boven- en onderkant niet meer van belang.

Deze methode is me duidelijk. Bedankt.

@Morzon:

Ik vat 'm nog niet.

Volgt hier dan uit dat:
\({ndS}= {r_\theta} \times {r_z dA}\)
En mag ik dan
\(\vec{F}\)
omzetten in:
\(\vec{F}=2sin \theta\vec{e}_1+ 2zcos \theta\vec{e}_2+4sin \theta cos\theta \vec{e}_3\)
[/size]
Omhoog

Bericht 29-12-'07, 00:00

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Oppervlakteintegraal: flux

Dit oppervlak (gedeelte van de cilinder x^2+y^2=4 ) heeft 2 orientaties. Ik heb de orientatie genomen waarbij de eenheidsnormaalvectoren die op het oppervlak staan, een positieve y -component hebben. Als je de andere orientatie neemt, dan moet je in de formule -M veranderen in +M , +N in -N en de -P in +P. Er zal dan waarschijnlijk een andere uitkomst uitkomen. ( - 4 2/3 ).
Omhoog

Bericht 29-12-'07, 12:59

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Oppervlakteintegraal: flux

Neem voor de grenzen:
Morzon schreef:waarbij:
\( 0 \leq \theta \leq \frac{1}{2} \pi\)
en
\( 0 \leq z \leq y=2 \sin{\theta}\)
goldsteen schreef:@Morzon:

Ik vat 'm nog niet.

Volgt hier dan uit dat:
\({ndS}= {r_\theta} \times {r_z dA}\)
En mag ik dan
\(\vec{F}\)
omzetten in:
\(\vec{F}=2sin \theta\vec{e}_1+ 2zcos \theta\vec{e}_2+4sin \theta cos\theta \vec{e}_3\)
[/size]
Juist!
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 30-12-'07, 23:03

goldsteen

Berichten: 179

Re: Oppervlakteintegraal: flux

In een enigszins vergelijkbaar voorbeeld in het boek met
\(\vec{F}(x,y,z)=x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}+z\vec{e}_{3}\)
begrensd door het oppervlak K,
\({z}={x}^{2}+{y}^{2}\)
en het vlak
\({z=2}\)
wordt van het oppervlak K eerst de normaalvector bepaald. Dit gebeurt dan met het bepalen van de gradiënt en dus met partieel afleiden.

Deze is dan
\(\vec{n}=2x\vec{e}_{1}+2y\vec{e}_{2}-\vec{e}_{3}\)
Dan via
\(\vec{n}_{e}=\frac{1}{\left|\vec{n}\right|}\vec{n} \)
en
\( {cos}\gamma = \frac{\vec{n}\cdot\vec{e_3}}{\left|\vec{n}\right |\cdot\left|\vec{e_3}\right|}= \frac{1}{\left|\vec{n}\right|}\)
wordt eerst de uitdrukking achter de integraaltekens berekend:
\(\vec{F}\cdot\vec{n}_{e} {dS}=\vec{F}\cdot{n}_{e}\frac{1}{\left|cos\gamma\right|}{dA}= \vec{F}\cdot \frac{\vec{n}}{\left|\vec{n}\right |}\cdot {\left|\vec{n}\right|}{dA}= \vec{F}\cdot\vec{n}{dA}\)


Vervolgens wordt het inwendig product van
\(\vec{F}\)
en
\(\vec{n}\)
berekend, dan de
\({z}\)
variabele vervangen door
\({x}^{2}+{y}^{2}\)
en als laatste vanwege de cirkelvormige aard, de integraal berekend met behulp van poolcoördinaten.



Ik begrijp dat volgens jouw methode je de omzetting in cilindercoördinaten gelijk bij het berekenen van het inwendig product kunt toepassen.



De notatie
\({ndS}= {r_\theta} \times {r_z dA}\)
begrijp ik nog niet. Mijn struikelblok blijft het berekenen van het inwendig produkt ?
Omhoog

Bericht 31-12-'07, 01:01

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Oppervlakteintegraal: flux

[attachment=999:scan0031.jpg]
Omhoog

Bericht 31-12-'07, 09:29

goldsteen

Berichten: 179

Re: Oppervlakteintegraal: flux

@aadkr:

Dit komt inderdaad (behalve dan dat ze de variabelen anders benoemen en de uitkomst positief is) exact overeen met het uitgewerkte voorbeeld in het boek.

Alleen als ik dit toepas op de opgave kom ik er niet uit.



Ik heb het idee dat ik lig te knoeien met het bepalen van de normaalvector.
Omhoog

Bericht 31-12-'07, 13:40

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Oppervlakteintegraal: flux

[attachment=1002:scan0032.jpg]

[attachment=1003:scan0033.jpg]
Omhoog

Bericht 31-12-'07, 15:13

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Oppervlakteintegraal: flux

goldsteen schreef:Ik begrijp dat volgens jouw methode je de omzetting in cilindercoördinaten gelijk bij het berekenen van het inwendig product kunt toepassen.



De notatie
\({ndS}= {r_\theta} \times {r_z dA}\)
begrijp ik nog niet. Mijn struikelblok blijft het berekenen van het inwendig produkt ?
Voor het berekenen van inwendig prodcut klik hier, voor uitwendig product hier.

Voor de formule die ik voor ds en n gebruik kan je hier kijken. Dit is dan gelijk ook de meest algemene methode. De formule die Aadkr gebruikt voor n kan je dan ook afleiden.

Trouwens: Waarom verander je de lettertype steeds?
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 01-01-'08, 11:56

goldsteen

Berichten: 179

Re: Oppervlakteintegraal: flux

Trouwens: Waarom verander je de lettertype steeds?
Gaat vanzelf.

Knippen plakken vanuit word met standaard times new roman en latex codes.

Iedere keer bij de laatste regel wordt automatisch het lettertype verandert?



Ben na een aantal bewerkingen en de nodige foutmeldingen vanwege niet werkende latexcodes, al blij dat het goed leesbaar is.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”