[statistiek] kansrekenen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 824

[statistiek] kansrekenen

Hoi,

in de bijlage zit de opgave. Ik zoek een beetje hulp bij vraag a.

P( X1 < 1/2 , X2 > 1/4) = P( X1 < 1/2 en X2 > 1/4)

Volgens mij mag je niet stellen dat:

P( X1 < 1/2 en X2 > 1/4) = P( X1 < 1/2)* P(X2 > 1/4) want die kansvariabelen zijn volgens mij niet onafhankelijk.

Ik zou dus kunnen beginnen met berekenen van marginale kansverdelingen voor beiden, maar ik zie niet in hoe ik van daaruit dan aan de oplossing zou kunnen geraken...

Alvast bedankt!
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [statistiek] kansrekenen

Moet dat niet zijn
\(f(x_1,x_2)=\frac{x_1+x_2}{2}\)
, aangezien een verdelingsfunctie nooit > 1 mag worden?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Berichten: 4.246

Re: [statistiek] kansrekenen

\(P(X_1 < \frac{1}{2} , X_2 > \frac{1}{4} ) =\int_0^{ \frac{1}{2} } \int_{ \frac{1}{4} }^1 x_1 + x_2\ d x_2 d x_1 \)
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: [statistiek] kansrekenen

Rogier, neen, het is zoals het daar staat.

Dirkwb, zou je wat meer uitleg kunnen geven bij je redenering, vooral omtrent de grenzen die je gebruikt e.d.

De antwoorden moeten trouwens zijn:

a) 21/64

b) 1/3

c) 385/12

d) 15275/144
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Berichten: 4.246

Re: [statistiek] kansrekenen

Yes het klopt!

De grenzen zijn gewoon over dat interval waarin de variabele bestaat.
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: [statistiek] kansrekenen

Moet dat niet zijn
\(f(x_1,x_2)=\frac{x_1+x_2}{2}\)
, aangezien een verdelingsfunctie nooit > 1 mag worden?


Is het niet zo dat een continue verdelingsfunctie wél groter mag worden dan één? Zolang de integraal onder het volledige gebied maar één is? Althans, zo is dat toch bij univariate continue kansverdelingen, dus ik zou denken dat hier hetzelfde geldt.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [statistiek] kansrekenen

Is het niet zo dat een continue verdelingsfunctie wél groter mag worden dan één? Zolang de integraal onder het volledige gebied maar één is? Althans, zo is dat toch bij univariate continue kansverdelingen, dus ik zou denken dat hier hetzelfde geldt.
De terminologie is misschien wat verwarrend, maar de verdelingsfunctie is die integraal, wat jij bedoelt wordt meestal de dichtheid genoemd (zie ook).

De gegeven f is dus gewoon de dichtheid, dan klopt het allemaal (had ik ook kunnen zien aan het feit dat
\(\int_0^1 \int_0^1 x_1+x_2\ dx_1 dx_2 = 1\)
).

Berekening van het tweede antwoord is bijvoorbeeld
\(\int\int_{x_1+x_2<1} x_1+x_2\ dx_1 dx_2 = \int_0^1 \int_0^{1-x_2}x_1+x_2\ dx_1 dx_2 = \frac{1}{3}\)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: [statistiek] kansrekenen

Ja, de tweede had ik ook net gevonden, ook op die manier. Maar de redeneringen achter die berekeningen zijn me nog niet duidelijk. Dit is meer formuletjes invullen dan redeneren. Wat stààt er eigenlijk als er gevraagd wordt: P(X1 + X2 < 1)? Maw: wat is de intepretatie van die 1/3.

Mijn probleem is dus: ik zit hier een oefening op te lossen, zonder dat ik echt weet wàt ik aan het oplossen ben.

Ik hoop dat het een beetje duidelijk is.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Berichten: 4.246

Re: [statistiek] kansrekenen

Dat is de kans dat de fractie van de werkdagen van de twee bedienden gezamenlijk kleiner dan 1 is.
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: [statistiek] kansrekenen

In die laatste vraag wordt een variantie gevraagd, ik heb tot nu toe dit:
\(var(30X_1 + 25X_2) = 30^2var(X_1) + 25^2var(X_2)+2\cdot 30 \cdot 25 \cdot cov(X_1,X_2)\)
Om dat te kunnen uitrekenen hebben we oa
\(var(X_1)\)
nodig, en dat komt bij mij uit op
\(\frac{-1835}{6}\)
wat natuurlijk niet kan.

Dat getal bekwam ik als volgt: (met de wetenschap dat
\(E(X_1)=\frac{35}{2}\)
in het achterhoofd.)
\(var(X_1) = E((X_1-µ_{X_1})^2) = E(X_1^2) - 35E(X_1) + \frac{1225}{4}\)
, =

en om dat te berekenen hebben we
\(E(X_1^2)\)
nodig, en dat is:
\(E(X_1^2) = \int_0^1 x_1^2\cdot f_{X_1}(x_1)dx_1\)
Waar zit daar tot hiertoe een fout in?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Berichten: 4.246

Re: [statistiek] kansrekenen

\( E( X_1 ) = \frac{7}{12} \)
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: [statistiek] kansrekenen

Ja, maar zelfs als ik dat als gemiddelde gebruik kom ik er nog niet. Ik kom op een variantie van meer dan 300 als oplossing, terwijl het maar iets meer als honderd mag zijn.

Ik kom als tussenberekeningen uit:

-
\(var(X_1) = \frac{37}{144} = var(X_2)\)
-
\(cov(X_1,X_2) = E(X_1X_2)-µ_{X_1}\cdot µ_{X_2} = \frac{1}{3} - \frac{7^2}{12^2}\)
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: [statistiek] kansrekenen

Ik heb de berekeningen van c en d ingescanned.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [statistiek] kansrekenen

Waarom met aparte verwachtingswaarden en varianties voor X1 en X2 werken?

Volgens mij kun je gewoon zeggen:
\(Z=30X_1+25X_2\)
\(E[Z]=\int_{\Omega}Z \cdot f(Z)\ dZ = \int_0^1 \int_0^1 (30X_1+25X_2)(X_1+X_2)\ dX_1 dX_2 = \frac{385}{12}\)
\(E[Z^2]=\int_{\Omega}Z^2 \cdot f(Z)\ dZ = \int_0^1 \int_0^1 (30X_1+25X_2)^2(X_1+X_2)\ dX_1 dX_2 = \frac{13625}{12}\)
\(Var[Z] = E[Z^2] - E[Z]^2 = \frac{15275}{144}\)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: [statistiek] kansrekenen

Ohja :D

Maar dan nog, wat gaat er bij mij mis? Het zou volgens mijn methode ook moeten kloppen, uiteindelijk.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Reageer