[microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Jan van de Velde

Plaats in deze topic je vragen en opmerkingen over de [microcursus] Goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis) en de bijbehorende oefenopgaven (te vinden onder de cursus).

Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen

-----------------------------------------------------------------------------------------

foodanity

Ik had een paar opmerkingen over de cursus (had Jan er eerst al een PB over gestuurd en op zijn advies post ik het nu hier):

1. De tabel met waardes van de sinus cosinus en tangens. Op het middelbaar onderwijs (iig op VWO) wordt er geacht deze tabel te kennen als men de natuurstroom kiest. Nu geef ik toe, dan rekenen we bijna alleen nog maar met radialen dus is de tabel niet in graden, maar in radialen gegeven. Het is vrij lastig je meester te maken van deze tabel, zeker in het begin, dan zie je de verbanden nog niet. Daarom zou ik graag een handig ezelsbruggetje bij deze tabel willen zien, die mij heel erg veel geholpen heeft om deze tabel uit het hoofd te leren. Nu weet ik dat de behandelde stof vooral met de basis van de goniometrie een goede hulp kan zijn, maar dan is mijn vraag waarom de tabel erin staat. Overweeg het eens, hier komt de ezelsbrug:

Eerst schrijf je de bekende hoeken op (dit is eigenlijk het enige wat je uit het hoofd moet leren). Dan schrijf je daaronder sinus, cosinus en tangens. Nu komt het: Schrijf bij de sinus van links naar rechts te beginnen bij de hoek van nul

\(\frac {1}{2} \sqrt {0} = 0\)

, dan

\(\frac {1}{2} \sqrt {1} = 1/2\)

,

\(\frac {1}{2} \sqrt {2}\)

,

\(\frac {1}{2} \sqrt {3}\)

,

\(\frac {1}{2} \sqrt {4} = 2\)

. Heb je eenmaal de sinus ingevuld van 0 tot 90 graden. Ga dan naar de cosinus.

Nu is de cosinus precies het omgekeerde van de sinus, dus nu schrijf je bij de hoek van 0, de hoek van de sinus van 90, hoek van 30, de hoek van sinus van 60. Dus je neemt de eindwaarde van de sinus en werkt zo van rechts naar links en schrijft de opeenvolgende waardes op bij de cosinus.

De tangens is nu wel heel makkelijk, je deelt gewoon de sinus door de cosinus. Dus 0/1 = 0.

\(\frac {\frac {1}{2}}{\frac {1}{2} \sqrt {3}} = \frac {1}{3}\sqrt{3}\)

. Enzovoorts...

2. De tweede tip die ik zou willen geven is een kleine. Namelijk de bgtan notatie wordt, in ieder geval bij ons op school, amper gebruikt. In de hele getal en ruimte methode komt deze notatie nooit voor. Wat zij gebruiken is de

\(\tan^{-1}\frac{O}{A}\)

en misschien moet je er ook bij zetten dat ook de arctangens notatie veel gebruikt wordt, van het latijnse arc = boog, vandaar dus ook de naam bgtan in het nederlands.

3. In de derde klas moesten we heel veel rekenen met hellingspercentages. Ik heb dit niet kunnen terugvinden in de cursus. En zo heel moeilijk is het nu ook weer niet, gewoon de inverse tangens van het percentage/100 nemen. Misschien handig voor een voorbeeld opgave?

Deze tips komen voort bij mijn eigen problemen die ik met de stof, destijds, had. Misschien handig dus om toe te voegen.

TD

Bedankt voor je commentaar.

1) Dat trucje ken ik en er is aan gedacht om het te gebruiken in de cursus. Ik vond het vrij omslachtig om te beschrijven (niet eenvoudig om duidelijk én kort op te schrijven, dit kan je wel gemakkelijk "vertellen"). Misschien toch een idee om te proberen dit ezelsbruggetje erin te verwerken.

2) De andere notaties worden vermeld in de cursus, maar ik vind het geen goed idee om tan^-1 als standaardnotatie te gebruiken. Dit is m.i. een heel slechte en verwarrende notatie, omdat ook machten zo genoteerd worden. Terwijl het in deze context niet zo bedoeld is, bestaat de kans op interpretatie van tan^-1 = 1/tan.

3) Misschien een nuttige toevoeging; kan zeker aan gedacht worden als de versie eens herwerkt wordt.

Jan van de Velde

2) De andere notaties worden vermeld in de cursus, maar ik vind het geen goed idee om tan^-1 als standaardnotatie te gebruiken. Dit is m.i. een heel slechte en verwarrende notatie, omdat ook machten zo genoteerd worden. Terwijl het in deze context niet zo bedoeld is, bestaat de kans op interpretatie van tan^-1 = 1/tan.

Als ik "getal en ruimte" les denk aan Nederlands onderwijs. En de standaard in het onderwijs gebruikte rekenmachines gebruiken die notatie bij de knopjes. Mijn zoon noemt het spontaan tangensminéén.......

TD

Bijne alle rekenmachines gebruiken inderdaad die notatie, wat niet wegneemt dat de notatie slecht is.

Vandaar dat ik het wel zou vermelden, maar niet zelf hanteren als standaardnotatie voor de inverse tangens.

Jan van de Velde

1) Ik weet niet of dat tabelletje in deze cursus past. Daarmee duiken we al snel de goniometrische wiskunde in, ipv de praktische goniometrie denk ik

2) Dat notatiegebeuren ben ik met TD eens overigens, voordat dat verkeerd begrepen wordt. Ik probeerde alleen (school) achtergrond te geven bij Foodanity's suggestie voor meer nadruk op die notatie.

we zouden deze passage uit de cursus:

Op je machine vind je die functies onder een van de volgende drie aanduidingen:

bgsin, arcsin of sin-1;

bgcos, arccos of cos-1;

bgtan, arctan of tan-1

.

kunnen voorzien van een plaatje als:

: tanmineen.png (89.56 KiB) 1991 keer bekeken

3) Een leuke oefenopgave met hellingspercentages is vlot genoeg gemaakt. Een helling van 100% betekent toch inderdaad een hellingshoek van 45° hè?

Phys

3) Een leuke oefenopgave met hellingspercentages is vlot genoeg gemaakt. Een helling van 100% betekent toch inderdaad een hellingshoek van 45° hè?

Ja; tan(a)=1 -> a=45°

\(\arctan{(1)}=\frac{\pi}{4}\)

TD

3) Een leuke oefenopgave met hellingspercentages is vlot genoeg gemaakt. Een helling van 100% betekent toch inderdaad een hellingshoek van 45° hè?

Inderdaad; hellingsgraad = tan(hellingshoek), eventueel *100 in %.

HosteDenis

Eerst schrijf je de bekende hoeken op (dit is eigenlijk het enige wat je uit het hoofd moet leren). Dan schrijf je daaronder sinus, cosinus en tangens. Nu komt het: Schrijf bij de sinus van links naar rechts te beginnen bij de hoek van nul
\(\frac {1}{2} \sqrt {0} = 0\)
, dan
\(\frac {1}{2} \sqrt {1} = 1/2\)
,
\(\frac {1}{2} \sqrt {2}\)
,
\(\frac {1}{2} \sqrt {3}\)
,
\(\frac {1}{2} \sqrt {4} = 2\)
.

Klein foutje:

\(\frac {1}{2} \sqrt {4} = 1 \neq 2\)

.

Overigens gebruikte ik hetzelfde trucje, maar deelde ik meteen de wortel door 2, in plaats van ze te vermeningvuldigen met 1/2. Dat is uiteraard hetzelfde, maar naar mijn inzien nog minder verwarrend bij het uitrekenen van de tangens, omdat je dan gewoon de breuk van de sinus kan opschrijven, maal de omgekeerde breuk van de cosinus. In jouw geval zal je met een breuk maal een wortel in de teller komen te staan, en met een breuk maal een wortel in de noemer (en uiteraard ook soms zonder de wortel of zelfs zonder de breuk). Uiteraard maakt het uiteindelijk weinig verschil, maar ik vond het jaren geleden makkelijker het zo te doen.

Denis

Jan van de Velde

even over die notatie sin^-1...

dat mag dus niet verward worden met

\( x^{-1} = \frac{1}{x} \)

maar waar komt die notatie dan wél vandaan?

dirkwb

Ik denk van de inverse functie van

\( f(x): f^{-1}(x) \)

zie hier.

TD

Inderdaad, en ook vind ik dus vrij ongelukkig gekozen. Er zijn teksten waar ze een alternatief gebruiken, zoals een tilde.

Phys

Je kunt het ook andersom zien: algemeen noteren we de inverse van een element x met x^-1 (denk aan groepen, ringen, waar het om abstracte, niet-gespecificeerde elementen gaat), met de eigenschap xx^-1=e met e de identiteit.

Een specifiek geval is de multiplicatief inverse: xx^-1=1 -> x^-1=1/x

TD

Maar ook daarvoor heb ik in teksten alternatieve notaties gezien, waarbij x^(-1) pas gebruikt wordt voor het multiplicatief invers.

Dit voorkomt verwarring met een eigenschap van machten, die voor het multiplicatief invers wel opgaat: namelijk x^-1 = 1/x.

Jan van de Velde

Kortom, tekst voor de zekerheid maar wat uitbreiden in de trant van:

Pas op !! Voor

\( sin^{-1}(\alpha) \)

mag je NOOIT lezen

\(\frac{1}{sin(\alpha)}\)

Het is een wat ongelukkig gekozen notatie voor arcsinus of boogsinus (de inverse sinusfunctie)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

[microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)

Re: [microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)