Flux integraal

okej26

Zit met de volgende opgave:

F=[y^3,x^3,z^3]

S:x^2 + 4y^2 = 4, waarbij x>=0, y>=0, 0=<z<=h

Nu is het de bedoeling om de oppervlakte te berekenen. Dit middels flux integraal:

Integraal over S van (F.n) dA.

Nu heb ik hier al een opgave over gemaakt, dus de aanpak is me wel zo'n beetje duidelijk maar nu wil het volgende me niet lukken:

Ik moet nu als eerst een representatie vinden voor r. Ik noem nu x=u, z=v wat geeft dat y=(1-(u^2 /4))^0.5

Dit lijkt me wel juist maar nu twijfel ik over het volgende. Volgens mij moet ik nu deze waarden invullen in de term voor S wat wil zeggen

S:r=[u^2, 4(1-(u^2 /4))^(0.5 x 2)] =4 = [u^2, 4-u^2]

Maar als ik nu de normaalvector wil berekenen middels

N=Ru.Rv geeft dit de oplossing [0,0,0] aangezien er geen termen van v voorkomen en Rv dus [0,0,0] is.

Ik zie dus wel in dat er wat foutgaat. Alleen heb zo niet het idee waar het fout gaat.

Hopelijk is er iemand die me hierbij kan helpen..

TD

Is het nu de bedoeling van een oppervlakte te berekenen (zoja, van wat? het stuk dat van S afgesneden wordt?) of om de flux van het vectorveld door dat stuk van S te bepalen?

Heb je misschien de (numerieke) uitkomst? Dan kan ik alvast controleren.

okej26

hm nouja het uiteindelijke antwoordt moet zijn 17h/4

Als ik het goed heb begrepen moet je de oppervlakte berekenen die S inneemt.

Zal de stappen wel even opnoemen die ik heb gedaan bij de vorige opgave:

1) representatie vinden

2) Normaal berekenen

3 Inproduct berekenen (F(s) .N)

4) Integraal uitrekenen

Hopelijk is het zo duidelijker

TD

Dat antwoord komt overeen met wat ik vond en ik heb de flux van F door het beschreven deel van S berekend. Het is dus wel degelijk de flux die je zoekt (zoals ook in je titel staat) en niet de oppervlakte van S (zoals je zelf leek te denken?).

Om de integraal uit te rekenen is het inderdaad handig om je oppervlak waardoor je de flux wil bepalen, te parametriseren. Dat kan cartesisch, maar voor deze ellipsoïde zou ik voor een elegantere parametrisatie kiezen. Herschrijf:

\(x^2 + 4y^2 = 4 \Leftrightarrow \left( {\frac{x}{2}} \right)^2 + y^2 = 1\)

De standaard parametrisatie voor "som van kwadraten gelijk aan 1" is cosinus en sinus. Stel bijgevolg x/2 = cos(t), dus x = 2.cos(t) en y = sin(t). Voor de hoogte behoud je gewoon z, dus de parameters zijn z en t. Grenzen voor z zijn eenvoudig (0 tot h), voor t heb je van 0 tot pi/2 precies het positief stuk van de ellipsoïde.

Nu moet het nog het volgende scalair product bepalen:

\(\vec F \cdot d\vec S = \vec F \cdot \vec ndS\)

In F vervang je x,y,z inderdaad door de parametrisatie. De vector ndS kan je vinden als:

\(\vec ndS = \varepsilon \left( {\frac{{\partial x}}{{\partial t}},\frac{{\partial y}}{{\partial t}},\frac{{\partial z}}{{\partial t}}} \right) \times \left( {\frac{{\partial x}}{{\partial z}},\frac{{\partial y}}{{\partial z}},\frac{{\partial z}}{{\partial z}}} \right)\)

Hierin is ε = [plusmin]1, die je kiest zodat je (uitwendige) normaal positief is, waardoor je flux ook positief zal zijn.

Tenslotte het resultaat integreren tussen de grenzen die we al bepaald hadden, ik vind dan inderdaad 17h/4. Lukt dat?

okej26

Hm dat is toch wat anders als ik zelf had, op de manier waar ik bezig was kan het niet of..?

Als ik met jouwn manier verder ga krijg ik na het invullen

F=[sin(t)^3,8cos(t)^3,z^3]

maar welke term vormt nu de S:r dat ontgaat mij een beetje om de normaal te berekenen.

TD

Er is geen term voor S: door de juiste keuze van parametrisatie (en grenzen) gaan we net integreren over dat stuk oppervlak van S. Verder zit er 'informatie" over S in de normaal, die je kan berekenen als dat vectorieel product.

Andere parametrisaties kunnen ook, deze gaat volgens mij gewoon eenvoudiger zijn. De parameters in jouw formule zijn u en v, dat zijn hier gewoon t en z: vandaar de afgeleiden naar deze variabelen voor de normaal.

okej26

Er is geen term voor S, door de juiste keuze van parametrisatie (en grenzen) gaan we net integreren over dat stuk oppervlak van S. Verder zit er 'informatie" over S in de normaal, die je kan berekenen als dat vectorieel product. Andere parametrisaties kunnen ook, deze gaat volgens mij gewoon eenvoudiger zijn.

Ok duidelijk, ik bedoelde dat eigelijk ook. Hoe dat vectoriaal product berekenen. Ik snap welke handeling je moet verrichten, maar heb ik nu gelijk dat je r=[2cost,sint,z] deze term nu eerst naar t differientieren en daarna naar z wat geeft:

N= [-2sin(t), cos(t),0] x [ 0,0,1] = [ cos(t), 2sin(t) , 0]

nu F(s).N=[sin(t)^3, 8cos(t)^3 , z^3 ] [ cos(t), 2sin(t) , 0]

geeft : (sin(t)^3) . (cos(t)) + (8cos(t)^3) .(2sin(t)) + z^3. 0

doe ik het tot nog toe goed? Ziet er namelijk niet echt makkelijk uit als deze term met termen tot de derde macht geprimitiveerd moeten worden

TD

Ik ben niet meer thuis en heb mijn berekening niet meer bij de hand, maar dit ziet er wel goed uit. Die integralen zijn helemaal niet zo moeilijk, ze kunnen allemaal eenvoudig met substitutie opgelost worden. Voor de term sin³(t).cos(t) neem je y = sin(t) en omgekeerd bij die andere term. Na integratie naar t (van 0 tot pi/2) vind je 17/4. De integratie naar z (die niet meer in de te integreren functie voorkomt), levert de factor h.

aadkr

[attachment=1076:scan0010.jpg]

okej26

aan TD: Ik kom nog niet uit die primitieve berekenen. Hopelijk kun je me hier nog iets mee helpen. Of is het wel juist zoals ik het doe: je neemt y= sint geeft dy = cost dt zodat de vergelijking wordt y^3.dy de primitieve hiervan is 1/4 y^4 nu weer y invullen levert 1/4 sin(t)^4

aan aadkr: Kijk aan de andere uitwerking:), ik begrijp alleen niet wat je nu precies doet in de sprong van de derde naar de vierde regel. Ik snap dat de dA verandert in dxdz maar hoe je aan de waarden komt die hiervoor staan is mij niet helemaal duidelijk. Hopelijk zou je dit iets toe kunnen lichten.

okej26

op de manier van TD is het me gelukt. Maar hoe aadkr nu op het goede antwoord komt ben ik wel benieuwd over hopelijk kun je het nog even toelichten...

aadkr

Ik zal proberen om het toetelichten. De formules in de afbeelding gelden als z=f(x,y)

[attachment=1145:scan0032.jpg]

[attachment=1146:scan0034.jpg]

TD

aan TD: Ik kom nog niet uit die primitieve berekenen. Hopelijk kun je me hier nog iets mee helpen. Of is het wel juist zoals ik het doe: je neemt y= sint geeft dy = cost dt zodat de vergelijking wordt y^3.dy de primitieve hiervan is 1/4 y^4 nu weer y invullen levert 1/4 sin(t)^4

op de manier van TD is het me gelukt.

Dat was inderdaad hoe je die substitutie moest gebruiken, zoals je waarschijnlijk hebt kunnen merken zijn die integralen dan niet moeilijk.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Flux integraal

Flux integraal

Re: Flux integraal

Re: Flux integraal

Re: Flux integraal

Re: Flux integraal

Re: Flux integraal

Re: Flux integraal

Re: Flux integraal

Re: Flux integraal

Re: Flux integraal

Re: Flux integraal

Re: Flux integraal

Re: Flux integraal