Kinetische energie van een draaiende plaat

boertje

dit is een vraag die ik niet zo meteen kan oplossen:

een dunne plaat(dikte delta en mass M)wentelt met een constante hoeksnelheid omega om een as.

de rannd van plaat heeft als vergelijking:x=a*(2*sin(t)-sin(2*t)), y=b*(1-cos(t)).

t element van [0,2pi], a>0, b>0

de rotatieas valt samen met de x-as, bepaal de kinetische energie

nu weet ik dat kinetische energie is 1/2(mv²)

ook zou ik de oppervlakte van de plaat berekenen, dat is dan de integraal van (y*dx) van O tot 2pi

is dat al een juist begin?

en wat moet ik dan vervolgens doen?

TD

Verplaatst naar huiswerk.

boertje

kan er hier echt niemand bij helpen? want ik worde er echt zot van!

bespaar my een zenuwinzinking aub!

TD

Ongeduld is geen schone zaak, je vraag staat hier amper een uur.

Bovendien is het niet toegelaten je topic te bumpen (zie regels).

boertje

mijn excuses dervoor, ik vind het alleen ongelooflijk lastig dat het niet lukt!

ik zal dan maar zwijgen en afwachten

Ruben01

Het volgende kan je doen:

traagheidsmoment bepalen m.b.v. dubbelintegraal

\(E_k= I \cdot \omega^2 \)

met omega als constante hoeksnelheid (staat in je opgave)

boertje

euhm hoe zit een dubbel integraal in elkaar?

want ik denk niet dat ik dat al heb gezien.

bedankt alleszins

Ruben01

boertje schreef:euhm hoe zit een dubbel integraal in elkaar?

want ik denk niet dat ik dat al heb gezien.

Dan is het waarschijnlijk niet de bedoeling de oefening zo op te lossen

.

Soms een formule gezien voor een traagheidsmoment te bepalen van de figuur die beschreven wordt door de functie die je gegeven hebt ?

boertje

we hebben zo'n oefening al gemaakt en dan doen we het als volgt:

we bepalen onze massa door de totale massa te delen door de oppervlakte

we bepalen onze straal ofzo en de snelheid vinden we dan als : omega*straal

en dan gaat men alles integreren vanaf het eerste snijpunt met de omwentelingsas tot het tweede.

dat denk ik toch.

zou dit kunnen?

want wat we hebben gedaan in de les is eigenlijk een totaal andere oefening.

Sjakko

Je kunt inderdaad uitgaan van

\(E=\frac{1}{2}mv²\)

. Dat geldt voor elk deeltje binnen die plaat. Helaas is hier de snelheid afhankelijk van de afstand tot de rotatieas. Elk deeltje heeft dus een andere kinetische energie. Het idee is dan om door middel van een integraal de kinetische energie van alle deeltjes bij elkaar op te tellen. De kinetische energie van zo'n deeltje noemen we even dE en het deeltje zelf noemen we dm. Dan geldt dus:

\(dE=\frac{1}{2}v²dm\)

maar de snelheid v van zo'n deeltje dm is afhankelijk van de afstand tot de rotatie-as. Die afstand tot de rotatieas is hier gewoon y (x is immers de rotatieas en y staat daar loodrecht op). Er geldt

\(v= \omega y\)

. Dan wordt het dus:

\(dE=\frac{1}{2}(\omega y)²dm\)

ofwel

\(dE=\frac{1}{2} \omega² y²dm\)

Al die deeltjes tellen we op met een integraal, namelijk:

\(E=\int dE = \frac{1}{2} \omega² \cdot \int y²dm\)

Merk op dat ik de constanten vóór de integraal heb gezet. Dat mag omdat het constanten zijn (ofwel onafhankelijk van y). Merk ook op dat hier niets anders staat dan de bekende

\(E_{k}=\frac{1}{2}I \omega²\)

die Ruben (afgezien van het halfje dat hij vergat) noemde. Het was dus achteraf makkelijker geweest om daarmee te beginnen.

We gaan nu verder met de integraal. Dat kleine massa'tje dm is eigenlijk niets anders dan zijn dichtheid maal zijn volumetje ofwel:

\(dm= \rho dV\)

waarbij je dat volumetje dV weer kan schrijven als lengte*breedte*hoogte ofwel

\(dm=\rho D x dy\)

met D de dikte van de plaat (bedenk zelf waarom ik x gebruik en niet dx). De integraal komt dan uit op

\(E=\frac{1}{2} \rho D \omega² \cdot \int x y²dy\)

Volgens mij (al ben ik er niet helemaal zeker van) kun je nu x en y substitueren en is het daarna een kwestie van uitwerken en primitiveren.

boertje

dit is het gevonden antwoord, gevonden op internet:

> restart:

> x:=a*(2*sin(t)-sin(2*t));

x := a (2 sin(t) - sin(2 t))

> y:=b*(1-cos(t));

y := b (1 - cos(t))

> solve(x=0,t);

0, Pi

> opp:=2*int(x*diff(y,t),t=0..Pi);

opp := 2 Pi a b

> m:=M/(opp*delta);

M

m := --------------

2 Pi a b delta

> v:=omega*y;

v := omega b (1 - cos(t))

> Ekin:=int(((m*v^2)/2)*2*x*delta*diff(y,t),t=0..Pi);

2 2

7 M b omega

Ekin := -------------

8

kan er iemand mij uitleggen van waar die "2*x*delta" komt in de laatste stap?

en waarom de opp zo bepaald wordt: opp:=2*int(x*diff(y,t),t=0..Pi);

en niet omgekeerd, dus met:2*int(y*diff(x,t),t=0..Pi)???

bedankt

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Kinetische energie van een draaiende plaat

Kinetische energie van een draaiende plaat

Re: Kinetische energie van een draaiende plaat

Re: Kinetische energie van een draaiende plaat

Re: Kinetische energie van een draaiende plaat

Re: Kinetische energie van een draaiende plaat

Re: Kinetische energie van een draaiende plaat

Re: Kinetische energie van een draaiende plaat

Re: Kinetische energie van een draaiende plaat

Re: Kinetische energie van een draaiende plaat

Re: Kinetische energie van een draaiende plaat

Re: Kinetische energie van een draaiende plaat