Nuldeler

jan_alleman

Zij A een vierkante matrix in Rn×n. We noemen A een nuldeler als er een vierkante

matrix B element Rn×n bestaat zodanig dat AB = 0, maar B is niet 0.

Toon aan dat voor een vierkante matrix A geldt: A is inverteerbaar als en slechts

als A is geen nuldeler.

Hoe bewijs je "<==" ?

Ik wou werken met det(AB)=det(A)det(B)=0

Als det(A)=0 dan is A niet inverteerbaar.

Wat dan ?

TD

De richting "=>" heb je al? Lijkt me ook eenvoudig. Als A inverteerbaar, dan bestaat de inverse. Veronderstel dat A toch een nuldeler is en neem dan een niet-nulle B waarvoor AB = 0. Door links en rechts met de inverse van A te vermenigvuldigen, vinden we B = 0, contradictie.

Voor de andere richting kan ik wel iets bedenken, maar dan werk ik met de negatie. Ik toon (hopelijk) aan: (A is niet inverteerbaar) => (A is nuldeler). Als A niet inverteerbaar is, dan zijn de kolommen van A lineair afhankelijk. Er bestaan dan niet-nulle scalairen (a,b,...) zodat een lineaire combinatie van de kolommen de nulvector levert. Met deze scalairen kan je de niet-nulle matrix B vormen die je moet hebben om aan te tonen dat A een nuldeler is. Lijkt je dat wat?

jan_alleman

Wat bedoel je eigenlijk met die scalairen ?

Kolommen van een matrix ?

Ik wou ook zo gaan zoeken, maar dacht dat er een recht aan recht toe oplossing was : )

Klintersaas

Wat bedoel je eigenlijk met die scalairen ?

Scalairen zijn getallen waarmee je een vector vermenigvuldigt. Mocht je bekend zijn met het begrip lineaire combinatie:

\(\overrightarrow{w} = a_1\overrightarrow{u_1} + a_2\overrightarrow{u_2} + \cdots + a_n\overrightarrow{u_n}\)

Hier zijn \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\),... vectoren en \(a_1\), \(a_2\),... scalairen.

Kolommen van een matrix ?

Ik hoop dat je wel weet wat kolommen van een matrix zijn. Anders heeft het namelijk weinig zin om over matrices te spreken. Stel je hebt de volgende matrix A:

: matrixkolommen.png (3.41 KiB) 1279 keer bekeken

De rood omcirkelde groepen elementen zijn kolommen.

jan_alleman

Ok, ik vroeg het voor de zekerheid, dat kan ook eh : )

Klintersaas

Uiteraard mag je zoveel vragen als je wilt. Lukt het nu?

jan_alleman

TD schreef:De richting "=>" heb je al? Lijkt me ook eenvoudig. Als A inverteerbaar, dan bestaat de inverse. Veronderstel dat A toch een nuldeler is en neem dan een niet-nulle B waarvoor AB = 0. Door links en rechts met de inverse van A te vermenigvuldigen, vinden we B = 0, contradictie.

Voor de andere richting kan ik wel iets bedenken, maar dan werk ik met de negatie. Ik toon (hopelijk) aan: (A is niet inverteerbaar) => (A is nuldeler). Als A niet inverteerbaar is, dan zijn de kolommen van A lineair afhankelijk. Er bestaan dan niet-nulle scalairen (a,b,...) zodat een lineaire combinatie van de kolommen de nulvector levert. Met deze scalairen kan je de niet-nulle matrix B vormen die je moet hebben om aan te tonen dat A een nuldeler is. Lijkt je dat wat?

Geniale oplossing B is dan de matrix van n kolommen (a_1 a_2 ... a_n)^T (als we het hebben over nxn matrices natuurlijk). En als je dan AB doet krijg ge idd de nulmatrix. (Ik werk met lineair afhankelijke rijen van A, en die a's zijn de scalairen)

"<==" is dan bewezen via contrapositie : )

Weet iemand een andere oplossing ?

jan_alleman

Ik kan het vorige niet wijzigen, bij deze.

Maar er moet staan dat "ik werk met lineair afhankelijke kolommen".

Rov

Hmm, ik ken die vraag ergens van. Die stond vorig jaar op mijn examen lineaire algebra, toevallig student aan de KUL?

Klintersaas

(als we het hebben over nxn matrices natuurlijk)

Dat is nogal vanzelfsprekend, omdat het geen zin heeft om het over nuldelers te hebben wanneer je niet binnen de vierkante matrices blijft.

jan_alleman

Hmm, ik ken die vraag ergens van. Die stond vorig jaar op mijn examen lineaire algebra, toevallig student aan de KUL?

Jup : )

TD

Weet iemand een andere oplossing ?

Het is weer een tijdje geleden, maar ik was even druk bezig...

Is de oplossing niet helemaal duidelijk, of wat zoek je nog?

jan_alleman

Die is zeker duidelijk : )

Ik was gewoon benieuwd ... (een goede additude, niet ? : p)

Ik heb al een paar gevonden, maar het komt altijd op hetzelfde neer.

TD

Goede attitude ja

Ik zie ook niet direct een volledig andere aanpak.

jan_alleman

Na een examen van 4.5 uur zijn zo'n soorten fouten geoorloofd

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Nuldeler

Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler

Re: Nuldeler