Nuldeler
-
- Berichten: 394
Nuldeler
Zij A een vierkante matrix in Rn×n. We noemen A een nuldeler als er een vierkante
matrix B element Rn×n bestaat zodanig dat AB = 0, maar B is niet 0.
Toon aan dat voor een vierkante matrix A geldt: A is inverteerbaar als en slechts
als A is geen nuldeler.
Hoe bewijs je "<==" ?
Ik wou werken met det(AB)=det(A)det(B)=0
Als det(A)=0 dan is A niet inverteerbaar.
Wat dan ?
matrix B element Rn×n bestaat zodanig dat AB = 0, maar B is niet 0.
Toon aan dat voor een vierkante matrix A geldt: A is inverteerbaar als en slechts
als A is geen nuldeler.
Hoe bewijs je "<==" ?
Ik wou werken met det(AB)=det(A)det(B)=0
Als det(A)=0 dan is A niet inverteerbaar.
Wat dan ?
- Berichten: 24.578
Re: Nuldeler
De richting "=>" heb je al? Lijkt me ook eenvoudig. Als A inverteerbaar, dan bestaat de inverse. Veronderstel dat A toch een nuldeler is en neem dan een niet-nulle B waarvoor AB = 0. Door links en rechts met de inverse van A te vermenigvuldigen, vinden we B = 0, contradictie.
Voor de andere richting kan ik wel iets bedenken, maar dan werk ik met de negatie. Ik toon (hopelijk) aan: (A is niet inverteerbaar) => (A is nuldeler). Als A niet inverteerbaar is, dan zijn de kolommen van A lineair afhankelijk. Er bestaan dan niet-nulle scalairen (a,b,...) zodat een lineaire combinatie van de kolommen de nulvector levert. Met deze scalairen kan je de niet-nulle matrix B vormen die je moet hebben om aan te tonen dat A een nuldeler is. Lijkt je dat wat?
Voor de andere richting kan ik wel iets bedenken, maar dan werk ik met de negatie. Ik toon (hopelijk) aan: (A is niet inverteerbaar) => (A is nuldeler). Als A niet inverteerbaar is, dan zijn de kolommen van A lineair afhankelijk. Er bestaan dan niet-nulle scalairen (a,b,...) zodat een lineaire combinatie van de kolommen de nulvector levert. Met deze scalairen kan je de niet-nulle matrix B vormen die je moet hebben om aan te tonen dat A een nuldeler is. Lijkt je dat wat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 394
Re: Nuldeler
Wat bedoel je eigenlijk met die scalairen ?
Kolommen van een matrix ?
Ik wou ook zo gaan zoeken, maar dacht dat er een recht aan recht toe oplossing was : )
Kolommen van een matrix ?
Ik wou ook zo gaan zoeken, maar dacht dat er een recht aan recht toe oplossing was : )
-
- Berichten: 8.614
Re: Nuldeler
Scalairen zijn getallen waarmee je een vector vermenigvuldigt. Mocht je bekend zijn met het begrip lineaire combinatie:Wat bedoel je eigenlijk met die scalairen ?
\(\overrightarrow{w} = a_1\overrightarrow{u_1} + a_2\overrightarrow{u_2} + \cdots + a_n\overrightarrow{u_n}\)
Hier zijn \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\),... vectoren en \(a_1\), \(a_2\),... scalairen.Ik hoop dat je wel weet wat kolommen van een matrix zijn. Anders heeft het namelijk weinig zin om over matrices te spreken. Stel je hebt de volgende matrix A:Kolommen van een matrix ?
De rood omcirkelde groepen elementen zijn kolommen.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 8.614
Re: Nuldeler
Uiteraard mag je zoveel vragen als je wilt. Lukt het nu?
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 394
Re: Nuldeler
Geniale oplossing B is dan de matrix van n kolommen (a_1 a_2 ... a_n)^T (als we het hebben over nxn matrices natuurlijk). En als je dan AB doet krijg ge idd de nulmatrix. (Ik werk met lineair afhankelijke rijen van A, en die a's zijn de scalairen)TD schreef:De richting "=>" heb je al? Lijkt me ook eenvoudig. Als A inverteerbaar, dan bestaat de inverse. Veronderstel dat A toch een nuldeler is en neem dan een niet-nulle B waarvoor AB = 0. Door links en rechts met de inverse van A te vermenigvuldigen, vinden we B = 0, contradictie.
Voor de andere richting kan ik wel iets bedenken, maar dan werk ik met de negatie. Ik toon (hopelijk) aan: (A is niet inverteerbaar) => (A is nuldeler). Als A niet inverteerbaar is, dan zijn de kolommen van A lineair afhankelijk. Er bestaan dan niet-nulle scalairen (a,b,...) zodat een lineaire combinatie van de kolommen de nulvector levert. Met deze scalairen kan je de niet-nulle matrix B vormen die je moet hebben om aan te tonen dat A een nuldeler is. Lijkt je dat wat?
"<==" is dan bewezen via contrapositie : )
Weet iemand een andere oplossing ?
-
- Berichten: 394
Re: Nuldeler
Ik kan het vorige niet wijzigen, bij deze.
Maar er moet staan dat "ik werk met lineair afhankelijke kolommen".
Maar er moet staan dat "ik werk met lineair afhankelijke kolommen".
- Berichten: 2.242
Re: Nuldeler
Hmm, ik ken die vraag ergens van. Die stond vorig jaar op mijn examen lineaire algebra, toevallig student aan de KUL?
-
- Berichten: 8.614
Re: Nuldeler
Dat is nogal vanzelfsprekend, omdat het geen zin heeft om het over nuldelers te hebben wanneer je niet binnen de vierkante matrices blijft.(als we het hebben over nxn matrices natuurlijk)
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 394
Re: Nuldeler
Hmm, ik ken die vraag ergens van. Die stond vorig jaar op mijn examen lineaire algebra, toevallig student aan de KUL?
Jup : )
- Berichten: 24.578
Re: Nuldeler
Het is weer een tijdje geleden, maar ik was even druk bezig...Weet iemand een andere oplossing ?
Is de oplossing niet helemaal duidelijk, of wat zoek je nog?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 394
Re: Nuldeler
Die is zeker duidelijk : )
Ik was gewoon benieuwd ... (een goede additude, niet ? : p)
Ik heb al een paar gevonden, maar het komt altijd op hetzelfde neer.
Ik was gewoon benieuwd ... (een goede additude, niet ? : p)
Ik heb al een paar gevonden, maar het komt altijd op hetzelfde neer.
- Berichten: 24.578
Re: Nuldeler
Goede attitude ja Ik zie ook niet direct een volledig andere aanpak.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)