Hoi,
Ik ben bezig met kernreactortheorie en kwam op een eigenwaardevergelijking uit : alpha-eigenwaardevraagstuk van de vorm Tn=alpha n. T is een lineaire operator. Men zegt dat de eigenfuncties van T niet per se een compleet stel vormen. Is dit karakteristiek voor oneindig dimensionale vectorruimtes of moet er een andere reden zijn? (ik ken enkel iets van eindige ruimtes)
Laatste berichten
-
20:14
Aardlek-schakelaar 2
-
19:55
wig 9
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
25 apr
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
25 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
25 apr
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Compleet stel in oneindig dimensionale vectorruimte
-
- Berichten: 24.578
Re: Compleet stel in oneindig dimensionale vectorruimte
Dat is ook al het geval in eindige ruimtes. Voor een nxn-matrix (van de lineaire operator T) heb je slechts een basis voor je eigenruimte als er n lineair onafhankelijke eigenvectoren zijn, dat is niet steeds het geval. Voor reële, symmetrische matrices is dit bijvoorbeeld wel gegarandeerd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 45
Re: Compleet stel in oneindig dimensionale vectorruimte
De eigenwaarden vallen niet samen maar hun aantal is ook niet per se aftelbaar...
-
- Berichten: 24.578
Re: Compleet stel in oneindig dimensionale vectorruimte
Je vraag is me niet helemaal duidelijk, kan je het misschien iets meer toelichten?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 45
Re: Compleet stel in oneindig dimensionale vectorruimte
Sorry dat ik dit even uit het oog was verloren, examen zat erop en het was ietwat uit mijn gedachten gegaan.
Onder deze link vind je de vorm van de integro-differentiaalvergelijking waar ik het over heb.
linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0306454903001518
Dit kan geschreven worden als een eigenwaarde vergelijking van de vorm T_a f = a * f (waarbij T een lineaire operator is). Nu zegt men dat de eigenoplossingen van dit stelsel niet per se een complete basis vormen en dat het aantal eigenwaarden niet per se aftelbaar is. Ik vroeg mij eigenlijk gewoon af waaruit wat volgt, ik ben namelijk niet thuis in oneindig-dimensionale vectorruimten. Veel meer relevante info kan ik op het eerste zicht niet meegeven, het lijkt me niet zinvol om het over de oorsprong van deze vergelijking te gaan hebben.
In elk geval bedankt voor de inspanningen die worden geleverd om hierop te antwoorden.
Onder deze link vind je de vorm van de integro-differentiaalvergelijking waar ik het over heb.
linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0306454903001518
Dit kan geschreven worden als een eigenwaarde vergelijking van de vorm T_a f = a * f (waarbij T een lineaire operator is). Nu zegt men dat de eigenoplossingen van dit stelsel niet per se een complete basis vormen en dat het aantal eigenwaarden niet per se aftelbaar is. Ik vroeg mij eigenlijk gewoon af waaruit wat volgt, ik ben namelijk niet thuis in oneindig-dimensionale vectorruimten. Veel meer relevante info kan ik op het eerste zicht niet meegeven, het lijkt me niet zinvol om het over de oorsprong van deze vergelijking te gaan hebben.
In elk geval bedankt voor de inspanningen die worden geleverd om hierop te antwoorden.
-
- Berichten: 24.578
Re: Compleet stel in oneindig dimensionale vectorruimte
Dat artikel kan ik niet opvragen, het lijkt betalend.
Wat basissen in oneindigdimensionale vectorruimten betreft, herinner je eerst:
We breiden dit uit naar een oneindigdimensionale vectorruimte. We beschouwen nu geen stel van orthonormale vectoren, maar een rij: (e_1, e_2, ...), dit is een basis voor V indien elke x in V geschreven kan worden als een convergente reeks, namelijk:
Nu is het niet noodzakelijk zo dat je lineaire operator een aftelbaar aantal (verschillende) eigenwaarden heeft, hetgeen nog niet hoeft te betekenen dat er geen volledig stel eigenvectoren is dat je eigenruimte kan opspannen. Denk hierbij aan eindigdimensionale vectorruimten: je kan eigenwaarden hebben met een algebraïsche multipliciteit a>1. Om a lineair onafhankelijke eigenvectoren te hebben bij deze eigenwaarde, moet ook de meetkundige multipliciteit m gelijk zijn aan a, waarbij in het algemeen geldt m
a.
Wat basissen in oneindigdimensionale vectorruimten betreft, herinner je eerst:
\(\vec x = \sum\limits_{i = 1}^n {\left\langle {\vec x,\vec e_i } \right\rangle \vec e_i } \)
Het stel {e_1,...,e_n} is een basis voor een n-dimensionale vectorruimte V indien elke x uit V geschreven kan worden als lineaire combinatie van deze basisvectoren. De coëfficiënten worden gegeven door het inproduct, zoals je in bovenstaande formule kan zien. We breiden dit uit naar een oneindigdimensionale vectorruimte. We beschouwen nu geen stel van orthonormale vectoren, maar een rij: (e_1, e_2, ...), dit is een basis voor V indien elke x in V geschreven kan worden als een convergente reeks, namelijk:
\(\vec x = \sum\limits_{i = 1}^{ + \infty } {\left\langle {\vec x,\vec e_i } \right\rangle \vec e_i } \)
Nu naar de lineaire operator en zijn eigenwaarden: bij verschillende eigenwaarden horen steeds lineair onafhankelijke eigenvectoren. Als je dus een rij van eigenwaarden hebt die onderling verschillen (je hebt dus een aftelbaar aantal verschillende eigenwaarden), dan heb je ook een rij orthonormale eigenvectoren, die zullen dienen als basisvectoren van je (eigen)ruimte.Nu is het niet noodzakelijk zo dat je lineaire operator een aftelbaar aantal (verschillende) eigenwaarden heeft, hetgeen nog niet hoeft te betekenen dat er geen volledig stel eigenvectoren is dat je eigenruimte kan opspannen. Denk hierbij aan eindigdimensionale vectorruimten: je kan eigenwaarden hebben met een algebraïsche multipliciteit a>1. Om a lineair onafhankelijke eigenvectoren te hebben bij deze eigenwaarde, moet ook de meetkundige multipliciteit m gelijk zijn aan a, waarbij in het algemeen geldt m
a."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 24.578
Re: Compleet stel in oneindig dimensionale vectorruimte
Graag gedaan, succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
