N-de orde taylor polynoom

wololoh

Ik heb een vraag over een taylor-polynoom dat ik vandaag tegenkwam, ik weet echt niet hoe ik hem moet berekenen. Het gevraagde is de n-de orde taylor-polynoom van de functie

f(x) = 1/(2 + x)

rond het punt x = 1.

Het ziet er heel simpel uit en de oplossing is vast niet al te ingewikkeld, maar ik heb het licht nog niet gezien. Is er iemand die me hier even op weg kan helpen? alvast bedankt.

Phys

Je kunt naar de definitie gaan, met f jouw functie:

\(\sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n\)

Het zal echter wel te vereenvoudigen zijn.

Als je de eerste paar afgeleiden opschrijft (in het punt 1), krijg je een patroon:

\(\frac{1}{3},\frac{1}{3^2},\frac{2}{3^3},\frac{-6}{3^4}...\)

Ik vermoed dat je dit samen moet voegen...

wololoh

Ja inderdaad, de definitie had ik ook al bekeken, maar het lukt me niet om een uitdrukking te vinden voor de n-de afgeleide van f(x). Weet iemand hoe dit te doen?

edit:

Ik kom trouwens op

1/3 , -1/3^2, 6/3^3...

wololoh

Haha ik heb het heel krom afgeleid, ik zie het al, ik zal wel moe zijn

. Eens kijken of ik er wat van kan maken. (sorry dat ik de vorige post niet edit; dat kon niet op een of andere manier

)

Phys

wololoh schreef:Ik kom trouwens op

1/3 , -1/3^2, 6/3^3...

Ik had een mintekenfout gemaakt, maar had het verder volgens mij juist:

\(f=(2+x)^{-1}\to \frac{1}{3}\)

\(f '=-(2+x)^{-2}\to -\frac{1}{3^2}\)

\(f ''=2(2+x)^{-3}\to \frac{2}{3^3}\)

\(f '''=-6(2+x)^{-4}\to -\frac{6}{3^4}\)

Dan denk ik aan zoiets als

\(f^{(n)}(1)=(-1)^n \frac{n!}{3^{n+1}}\)

wololoh

Jep, ik wou net zeggen dat ik hem ook had gevonden ja

(zie vorige post). Bedankt voor je hulp!

Ik denk dat ik gewoon een beetje scheel word als ik te lang met wiskunde bezig ben ofzo

.

Phys

ach, daar hebben we allemaal wel eens last van

(alhoewel...ik kan beter voor mezelf spreken).

Wat is je eindantwoord nu (de n-faculteit deelt mooi weg...)?

wololoh

Jep, ik heb hem nu zo genoteerd:

sommatie (i = 0 tot n) van: ((-1)^i/3^(i+1))*(x-1)^i

En ik weet dat het er niet uitziet, maar ik weet niet hoe ik zo mooi een formuletje kan maken zonder weer andere programma's te gaan gebruiken

.

Phys

Voor het gebruik van Latex, zie hier. Dat is een ingebouwde functie op dit forum; je hebt er niets voor nodig.

Ik denk dat je dit hebt

\(\sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{3^{(i+1)}} (x-1)^i\)

Dit is nog te vereenvoudigen tot

\(\frac{1}{3}\sum_{i=0}^n \left(\frac{1-x}{3}\right)^i\)

A.Square

Niet via de definitie doen! Dat is vies werk.

Subsitueer: x= r+1

Dan is je ontwikkelingspunt r=0 en kun je bekende dingen gebruiken.

\(\frac{1}{x+2}=\frac{1}{r+3}=- \frac{1}{-r-3}=-3 \frac{1}{(-\frac{r}{3})-1}=-3\cdot(1-\frac{r}{3}+\left(\frac{r}{3}\right)^2-\left(\frac{r}{3}\right)^3+\left(\frac{r}{3}\right)^4-\dots)\)

EDIT: Maar dat is helaas niet hetzelfde als wat jij hebt ....

Phys

Denk je dat er een fout zit in wat ik hierboven schreef? Het ziet er wel redelijk uit

eendavid

\(\frac{1}{x+2}=\frac{1}{r+3}=- \frac{1}{-r-3}=-3 \frac{1}{(-\frac{r}{3})-1}=-3\cdot(1-\frac{r}{3}+\left(\frac{r}{3}\right)^2-\left(\frac{r}{3}\right)^3+\left(\frac{r}{3}\right)^4-\dots)\)

moet

\(\frac{1}{x+2}=\frac{1}{r+3}=\frac{1}{3} \frac{1}{1+r/3}=\frac{1}{3}\sum\left(-\frac{r}{3}\right)^i \)

zijn, wat correspondeert met voorgaand resultaat.

edit: Daarnaast heeft Square wel gelijk natuurlijk.

wololoh

Hmm ja, naar zoiets was ik eigenlijk op zoek

. Gewoon een substitutie om de vorm

[ tex ] frac{1}{1-r} [ /tex ]

te krijgen, met een r die naar 0 gaat. Stom dat ik dat niet had gezien

.

Bedankt voor de hulp iedereen!

edit: wat doe ik nu fout met die latex code?

dirkwb

Je moet de spaties weghalen dus

\(\)

Morzon

En de code is /frac{1}{1-r} (let op de schuine streep)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

N-de orde taylor polynoom

N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom

Re: N-de orde taylor polynoom