Geef de definitie van de delta-distributie en bereken de Fouriergetransformeerde ervan.
Hiervoor gebruik ik de definitie uit mijn curus: De functionaal
\(\mathcal{D}_{\delta}(f):=f(0)\)
heet de delta-functionaal van Dirac[/b]. Verder definieert men Een lineaire functionaal \(\mathcal{D:C}\to\rr\)
heet een distributie[/b]. Men benadrukt dat dit de definitie is, en dat de uitdrukking \(\mathcal{D}_{\delta}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x)dx\)
"een brug levert tussen correcte definitie (linkerlid, gelijk aan f(0)) en handige notatie (rechterlid)".Mijn antwoord op de eerste vraag is dus
\(\mathcal{D}_{\delta}(f):=f(0)\)
, de definitie van de delta-distibutie. Het antwoordenblad zegt hier \(\delta:f\to f(0)\)
wat neem ik aan op hetzelfde neerkomt.Verderop neemt men S, een verzameling functies
\(f:\rr\to\cc\)
, zodat iedere functie f willekeurig vaak differentieerbaar is op \(\rr\) en zo dat voor iedere functie geldt \(\frac{d^n f(x)}{dx^n}=\mathcal{O}\left(\frac{1}{|x|^{-m}}\right)\)
als \(x\to\pm\infty\)
voor alle \(n,m\in\nn\)
. Zonder bewijs stelt men dat \(f\in \mathcal{S}\)
impliceert dat \(\hat{f}\in S\)
(waarbij \(\hat{f}\)
de Fouriergetransformeerde van f voorstelt).De volgende definitie, die ik gebruik, is dan Zij
\(\mathcal{D}\)
een getemperde distributie. Dan definiëren we de Fouriergetransformeerde distributie \(\hat{\mathcal{D}}(f):=\mathcal{D}(\hat{f})\)
voor elke \(f\in\mathcal{S}\)
[/b].Uiteindelijk doe ik dus simpelweg:
\(\hat{\mathcal{D}}_{\delta}(f)=\mathcal{D}_{\delta}(\hat{f})=\hat{f}(0)\)
. Het antwoordenblad zegt hier echter
\(\mathcal{F}\delta=\delta(e^{-isx})=e^{-is0}=1\)
.Waarbij
\(\mathcal{F}f=\hat{f}\)
, twee manieren om de Fouriergetransformeerde aan te (geven.)Dit lijkt in strijd te zijn met eerdere definities. Ik moet hierbij opmerken dat deze definitie wel eerder is genoemd in het dictaat. Ik bedenk me net dat het dictaat gewoon beschikbaar is, en wel hier, en dan op pagina 169 staat een "opmerking".
Is het niet zo dat je óf Definitie 6.9 op p.167 moet hanteren, óf 'definitie' vergelijking (161) op p.169, maar dat de één de andere uitsluit? Dus dat je van te voren moet besluiten welke "wiskunde je gaat bedrijven"?
Dank voor het lezen een meedenken.
