Entropie van zwart gat

erhoy

In het boek "The road to reality" van Roger Penrose staat een formule voor de entropie van een zwart gat.

Deze is gelijk aan 4 maal de oppervlakte van de event horizon.(In Planck units gemeten).

Kan iemand mij duidelijk maken wat je fysisch kan voorstellen bij de entropie van een zwart gat,

en waarom deze alleen van de oppervlakte afhankelijk is van de event horizon.

Klintersaas

Heb je hier en hier iets aan?

Rudeoffline

erhoy schreef:In het boek "The road to reality" van Roger Penrose staat een formule voor de entropie van een zwart gat.

Deze is gelijk aan 4 maal de oppervlakte van de event horizon.(In Planck units gemeten).

Kan iemand mij duidelijk maken wat je fysisch kan voorstellen bij de entropie van een zwart gat,

en waarom deze alleen van de oppervlakte afhankelijk is van de event horizon.

Grappig dat je dat vraagt, ik ben nu mijn scriptie aan het afronden over dit onderwerp.

Entropie is in de statistische mechanica een maat voor de wanorde; het vertelt je wiskundig op hoeveel verschillende manieren je systeem geconfigureerd kan worden. Dit zegt je vervolgens iets over het evenwicht, want een evenwicht is hierbij dan een toestand van maximale entropie. Entropie en temperatuur zijn vervolgens verbonden.

Nou straalt klassiek gezien een zwart gat geen straling uit, dus de temperatuur zou 0 moeten zijn. Dus is je entropie niet fatsoenlijk gedefinieerd. Nou kun je met behulp van Einstein's veldvergelijkingen een zwart gat bekijken. Zo'n zwart gat wordt gekenmerkt door de massa M, de rotatie J en de lading Q. Dit noemen ze ook wel het "no hair" theorema; meer parameters zijn er niet. Je kunt met behulp van wat variaties van deze variabelen een vergelijking tussen deze 3 opschrijven om de bewegingsvergelijking van een zwart gat te krijgen, en wat blijkt? Je krijgt iets wat heel erg op de 2e hoofdwet uit de thermodynamica lijkt.

Nou kan dat toeval zijn, maar je kunt met behulp van wat wiskundige theorema's aantonen dat een oppervlak van een zwart gat zich precies gedraagt als een entropie. Bekenstein heeft toen de stap gezet om dit es wat serieuzer te nemen, alleen heb je dan wel een temperatuur nodig van een zwart gat, en dat was lange tijd een probleem.

Toen Hawking met zijn Hawkingstraling kwam aanzetten, bleek dat precies het element te zijn wat nodig was om het oppervlak met de entropie te identificeren; een zwart gat bleek een temperatuur te bezitten.

Waar nu vooral veel onderzoek naar wordt gedaan, is om die entropie op te schrijven voor algemene gravitatietheorieën. We weten dat Einsteins veldvergelijkingen een benadering zijn. Technisch gesproken hebben mensen als Wald geprobeerd om de entropie van een zwart gat te schrijven als een symmetriestroom. Hiervoor heb je dan weer een gedegen Hamiltoniaanse formulering van gravitatie nodig. Als je éénmaal zo'n uitdrukking hebt gevonden, kun je checken of het voor Einstein's veldvergelijkingen de juiste uitdrukking oplevert, namelijk S=A/4 .

erhoy

Klintersaas: Dank voor de zeer interessante sites.

Rudeoffline: Dank voor je beknopte samenvatting van entropie mbt zwarte gaten.

Succes met je scriptie.

eendavid

Waar nu vooral veel onderzoek naar wordt gedaan, is om die entropie op te schrijven voor algemene gravitatietheorieën. We weten dat Einsteins veldvergelijkingen een benadering zijn. Technisch gesproken hebben mensen als Wald geprobeerd om de entropie van een zwart gat te schrijven als een symmetriestroom. Hiervoor heb je dan weer een gedegen Hamiltoniaanse formulering van gravitatie nodig. Als je éénmaal zo'n uitdrukking hebt gevonden, kun je checken of het voor Einstein's veldvergelijkingen de juiste uitdrukking oplevert, namelijk S=A/4 .

Kan je dit specifieker uitwerken? Bvb, je zegt dat de veldvergelijkingen een benadering zijn. Bedoel je dit klassiek, of bedoel je dit kwantummechanisch? En wat is het verband tussen entropie (scalar) en symmetriestroom (waarmee je allicht de stroming van een (Hamiltoniaans?) vectorveld bedoelt?)?

Rudeoffline

Kan je dit specifieker uitwerken? Bvb, je zegt dat de veldvergelijkingen een benadering zijn. Bedoel je dit klassiek, of bedoel je dit kwantummechanisch? En wat is het verband tussen entropie (scalar) en symmetriestroom (waarmee je allicht de stroming van een (Hamiltoniaans?) vectorveld bedoelt?)?

Ik kan een poging doen

Ten eerste is de opvatting dat een quantumgravitatie theorie een lage energie limiet bevat die de ruimte-tijd voor "lage energieën en grote afstanden" beschrijft ( deze grootheden zijn dan mbt de Planckgrootheden ). Deze effectieve actie zou dan de Hilbert actie plus hogere orde termen moeten zijn. Wat die termen zijn weten we niet precies; ze moeten in ieder geval covariant zijn, maar je wilt bijvoorbeeld ook dat de resulterende vergelijkingen zwarte gaten kunnen beschrijven. Ze moeten dus fysische singulariteiten bevatten. Als je quantumfluctuaties meeneemt in je quantumgravitatietheorie, hoop je natuurlijk dat deze fluctuaties van een veel kleinere orde zijn dan je hogere orde termen in je effectieve actie, anders hebben deze aanpassingen weinig zin. In die zin kun je het als een klassieke benadering zien. ( Ortin beschrijft in zijn boek een heel interessante benadering van zwaartekracht via het spin-2 formalisme, misschien leuk om es door te kijken ).

Op die entropie kom ik later even op, da's iets uitgebreider. Met de stroom bedoel ik de Noetherstroom ten gevolge van het diffeomorphisme invariante karakter van je gravitatietheorie ( dan weet je ook gelijk waar die vragen van me van de laatste tijd vandaan kwamen ). Het blijkt dat je hiermee een term kunt beschrijven, die in het geval van klassieke algemene relativiteit exact overeenkomt met de entropie S=A/4. Het is in dit geval zaak om de 2e hoofdwet van de thermodynamica van zwarte gaten af te leiden voor algemene gravitatietheorieën, dus in termen van je Lagrangiaan van je theorie.

eendavid

Ten eerste is de opvatting dat een quantumgravitatie theorie een lage energie limiet bevat die de ruimte-tijd voor "lage energieën en grote afstanden" beschrijft ( deze grootheden zijn dan mbt de Planckgrootheden ).

Is de motivering voor deze opvatting het niet-renormaliseerbaar zijn van de normale veldvergelijkingen? Of zijn er problemen in de beschrijving van zwarte gaten zelf? Ik heb nl. al regelmatig gehoord over deze hoge-energie correcties, maar ze lijken mij steeds behoorlijk ad hoc en weinig Occam. Als ik ergens tijd vind zal ik opzoeken wat Ortin erover schrijft (met de het formalisme van de SU(2)-spinconnectie ben ik inderdaad vertrouwd, als dat is waar je op doelt).

Rudeoffline

Is de motivering voor deze opvatting het niet-renormaliseerbaar zijn van de normale veldvergelijkingen? Of zijn er problemen in de beschrijving van zwarte gaten zelf? Ik heb nl. al regelmatig gehoord over deze hoge-energie correcties, maar ze lijken mij steeds behoorlijk ad hoc en weinig Occam. Als ik ergens tijd vind zal ik opzoeken wat Ortin erover schrijft (met de het formalisme van de SU(2)-spinconnectie ben ik inderdaad vertrouwd, als dat is waar je op doelt).

Het is het uitgangspunt dat je theorie nooit exact is. Mij lijkt het geen notie van het niet-renormaliseerbaar zijn van je theorie, omdat extra afgeleides in je actie niet bepaalt bijdragen aan het renormaliseerbaar zijn van een theorie. Ik denk niet dat je hier Occam kunt toepassen. De gravitatiewet van Newton is immers ook een benadering tov de algemene relativiteitstheorie; de algemene relativiteitstheorie is dan weer een benadering van een andere meer volledige theorie. Dat druk je uit door je Lagrangiaan van je theorie uit te breiden. Een voorbeeld is de Gauss-Bonnet term.

Dan je vraag: wat is het verband tussen een entropie en een stroom ? Zoals ik zei gebruik je Noether's principe om een stroom aan je symmetrie te breiden. Een gravitatietheorie is een ijktheorie net als het standaardmodel, alleen kies je hier niet je ijk in een interne ruimte, maar in je coordinaten. Hier horen natuurlijk ijkvergelijkingen bij, en de symmetrie zal een behouden stroom opleveren.

In dit geval kijk je naar de variatie van je Lagrangiaan. Die kun je altijd schrijven als een term evenredig met de bewegingsvergelijkingen, plus een divergentie ( of een uitwendig product, als je de Lagrangiaan als n-vorm beschouwt ). Die divergentie is van een vector ( of een n-1 vorm ) waarmee je een zogenaamde symplectische stroom kunt definieren. Die divergentie zal dus 0 zijn als aan de bewegingsvergelijkingen is voldaan. Nou heeft Wald een uitbreiding gezocht voor de 2e hoofdwet, en daarin komt een energie-term voor. Als je dit wilt uitbreiden, heb je dus een Hamiltoniaan nodig van je theorie, en deze wordt gegeven door een symplectische vorm. Als je nou voor de variatie van die Hamiltoniaan die symplectische vorm neemt, dan kun je de 2e hoofdwet veralgemeniseren. De keuze voor deze Hamiltoniaan heeft te maken met het ADM-formalisme; het geeft de juiste notie van draai-impuls en energie.

Schrijf je deze vergelijkingen op, dan krijg je een uitdrukking die heel erg lijkt op je 2e hoofdwet. Uiteindelijk kun je dan één term identificeren met je entropie, uitgedrukt in je Lagrangiaan van je theorie. Nou is de vraag of deze constructie werkt, en als je Einstein's veldvergelijkingen neemt dan komt er precies weer S=A/4 uit. Dat laat zien dat de Noetherstroom behorende bij de diffeomorphisme-symmetrie een geschikte kandidaat voor je entropie is.

Hoop dat je er iets mee kan

eendavid

Na wat googlen heb ik de indruk dat de motivatie voor de termen uit snaartheorie komt (+ nog wat fenomenologie?). Dat lijkt me inderdaad een verantwoorde strategie.

Hoop dat je er iets mee kan

Zo hebben we alleszins een beter idee, bedankt.

erhoy

T.a.v. Een David en Rudeoffline.

Ik heb het onderwerp entropie van een zwart gat ingebracht.

Helaas ben ik nu een beetje de weg kwijt geraakt door jullie discussie.

Zijn julie opmerkingen in eenvoudigere bewoordingen weer te geven

of moet je echt heel diep in de materie zitten om de essentie ervan

te begrijpen.

Indien dit laatste het geval is, is dat natuurlijk wel jammer.

Dan is de kennis over deze materie maar voor een enkeling weggelegd.

Rudeoffline

erhoy schreef:T.a.v. Een David en Rudeoffline.

Ik heb het onderwerp entropie van een zwart gat ingebracht.

Helaas ben ik nu een beetje de weg kwijt geraakt door jullie discussie.

Zijn julie opmerkingen in eenvoudigere bewoordingen weer te geven

of moet je echt heel diep in de materie zitten om de essentie ervan

te begrijpen.

Indien dit laatste het geval is, is dat natuurlijk wel jammer.

Dan is de kennis over deze materie maar voor een enkeling weggelegd.

't Is lastig om het in simpelere woorden te brengen, maar de essentie is dit: volgens Noether's theorema ( een ontzettend belangrijk theorema in de natuurkunde! ) hoort er bij elke symmetrie in je theorie een behouden lading. Die lading moet je abstract zien; het kan een elektrische lading zijn, maar het kan ook andere fysische zaken voorstellen ( bijvoorbeeld zwakke ladingen in de zwakke kernkracht en dergelijke ). Wat geprobeerd is, is om de entropie van een zwart gat met zo'n lading te beschrijven. Dan is de vraag: welke symmetrie gebruik je daarvoor? In de algemene relativiteitstheorie geldt de volgende symmetrie: iedereen meet dezelfde fysica, ongeacht de gekozen coordinaten. De symmetrietransformaties zijn hier dan de coordinatentransformaties; iedereen is vrij om zijn/haar coordinaten vrij te kiezen. Deze symmetrie moet weer een lading impliceren, en daarmee is geprobeerd om de entropie van een zwart gat te beschrijven.

erhoy

Ik kom toch nog terug op het begrip entropie.

Ik begrijp dat de entropie een maat is voor het aantal microscopische toestanden dat mogelijk is

voor een bepaalde macroscopische toestand. (S=k ln (W) )

Met deeltjes in een ruimte kan ik me dit goed voorstellen.

Nu probeer ik me ook zo iets voor te stellen met de entropie van een zwart gat.

Ik vond in http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInte...HoleThermo.html

dat energie in een zwart gat aanwezig is in de vorm van staande golven met knopen op de event-horizon.

Dat was nieuw voor mij.

Nu kan ik me voorstellen dat het begrip entropie nu gekoppeld kan worden aan de verdeling van de frequentie van deze staande golven. Zie ik dat juist en is er dan een verband naar het feit dat de entropie slechts afhangt van het oppervlak van de event-horizon.

erhoy

Ik ontvang geen reactie op mijn laatste opmerking.

Op zich is dat natuurlijk niet erg, maar ik vraag me af of

die niet reëel, een beetje dom of moeilijk te beantwoorden is?

Rudeoffline

erhoy schreef:Ik ontvang geen reactie op mijn laatste opmerking.

Op zich is dat natuurlijk niet erg, maar ik vraag me af of

die niet reëel, een beetje dom of moeilijk te beantwoorden is?

Hey, een laat antwoord ( had het druk en heb verder niet meer zo vaak hier gekeken ), maar het is zeker geen domme vraag ! Persoonlijk ben ik vooral bezig geweest met de macroscopische beschrijving van de entropie; maar je wilt natuurlijk zo'n entropie ook kunnen schrijven in termen van faseruimtes zoals je dat in de statistische mechanica doet. In de statistische mechanica is de entropie een maat voor hoeveel verschillende microconfiguraties leiden naar je waargenomen macrotoestand. Dit begrip is nodig, omdat je niet kunt meten in welke microtoestand precies je systeem is. Da's ook de reden waarom je overgaat op een statistische beschrijving. Wil je dat voor zwarte gaten doen, dan zul je microtoestanden moeten kunnen tellen, op een 'quantummechanische manier'. Daar heb je dus een theorie van quantumgravitatie voor nodig. Ik geloof dat in het geval van extreme zwarte gaten dergelijke berekeningen met behulp van snaartheorie kunnen worden gedaan, en deze gaan limietsgewijs naar je macroscopische uitdrukking toe. Voor algemene zwarte gaten worden dergelijke berekeningen nog niet goed begrepen naar mijn weten.

Math-E-Mad-X

Schrijf je deze vergelijkingen op, dan krijg je een uitdrukking die heel erg lijkt op je 2e hoofdwet. Uiteindelijk kun je dan één term identificeren met je entropie, uitgedrukt in je Lagrangiaan van je theorie. Nou is de vraag of deze constructie werkt, en als je Einstein's veldvergelijkingen neemt dan komt er precies weer S=A/4 uit. Dat laat zien dat de Noetherstroom behorende bij de diffeomorphisme-symmetrie een geschikte kandidaat voor je entropie is.

Hoi, zou je misschien ook uit kunnen leggen waarom diffeomorfisme-symmetrie en entropie aan elkaar gerelateerd zijn?

Als ik je verhaal zo lees lijkt het net alsof uit de diffeomorfisme-symmetrie-stroom min of meer 'toevallig' dezelfde uitdrukking als die voor entropie naar voren komt. Alsof men redeneert zo van: "ze hebben dezelfde uitdrukking dus zijn ze hetzelfde". Maar ik zie totaal niet waarom deze begrippen verder iets met elkaar te maken hebben.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Entropie van zwart gat

Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat

Re: Entropie van zwart gat