Oneigenlijke integralen

Scofield

Hallo,

Ik heb een vraagje over de volgende uitbreiding van de integralen:oneigenlijke integralen. Een oneigenlijke integraal is gewoon een integraal, waar het interval waarover men integreert niet begrensd is. Nu vraag ik mij af wat de fouriertransformatie en de laplacetransformatie hier eigenlijk mee te maken heeft. Er werd in mijn cursus ineens overgesprongen van oneigenlijke integralen naar fourier en laplace zonder echt een verband te geven met de oneigenlijke integralen. Zou iemand het verband tussen deze transformaties en de oneigenlijke integralen willen uitleggen?

alvast bedankt

Scofield

Niemand?

jhnbk

De laplace & fourier transformatie zijn gewoon oneigenlijke integralen

TD

Hier had ik blijkbaar overheen gekeken. Het is logisch dat er in je cursus eerst oneigenlijke integralen worden behandeld, bijvoorbeeld integralen waarbij minstens een van de grenzen niet eindig is. Er bestaat ook nog andere soorten oneigenlijkheden, maar dat is hier niet direct van belang.

Daarna heb je de nodige gereedschappen om integraaltransformaties zoals de Laplace- of Fouriertransformatie in te voeren omdat deze gedefinieerd zijn als een oneigenlijke integraal. Het "verband" is dus gewoon dat deze transformaties voorbeelden zijn van oneigenlijke integralen, maar met bijzondere toepassingen.

Scofield

TD schreef:Hier had ik blijkbaar overheen gekeken. Het is logisch dat er in je cursus eerst oneigenlijke integralen worden behandeld, bijvoorbeeld integralen waarbij minstens een van de grenzen niet eindig is. Er bestaat ook nog andere soorten oneigenlijkheden, maar dat is hier niet direct van belang.

Daarna heb je de nodige gereedschappen om integraaltransformaties zoals de Laplace- of Fouriertransformatie in te voeren omdat deze gedefinieerd zijn als een oneigenlijke integraal. Het "verband" is dus gewoon dat deze transformaties voorbeelden zijn van oneigenlijke integralen, maar met bijzondere toepassingen.

Zou iemand eens (ahv een voorbeeldje) kunnen uitleggen wat je bij een integraaltransformatie doet en wat het nut hiervan is?

Klintersaas

Googel met integral transform:

Mathematical notation aside, the motivation behind integral transforms is easy to understand. There are many classes of problems that are difficult to solveor at least quite unwieldy algebraicallyin their original representations. An integral transform "maps" an equation from its original "domain" (e.g., functions where time is the independent variable are said to be in the time domain) into another domain. Manipulating and solving the equation in the target domain is, ideally, much easier than manipulation and solution in the original domain. The solution is then mapped back to the original domain with the inverse of the integral transform.

Bron: http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_transform

Zie verder hier voor een tabel met integraaltransformaties met verschillende voorbeelden.

Scofield

Ik kan niet echt uit aan wat precies het nut is van zo'n integraaltransfomatie.

Scofield

EDIT: Ik kan er wel aan uit nu.

Het nut is eigenlijk dat je in een ander domein je integraal oplost en door de inverse transformatie je het beeld in het origineel domein hebt. Maar ga je nog in andere domeinen werken buiten de tijd?

Klintersaas

In informele taal: het komt erop neer dat verschillende vergelijkingen moeilijk op te lossen zijn in hun oorspronkelijke vorm (lees: domein). Met een integraaltransformatie wordt die vergelijking omgezet in een andere vorm (lees: de vergelijking wordt naar een ander domein overgeheveld) waarin het oplossen van die vergelijking véél gemakkelijker gaat. Wanneer je de oplossing hebt zet je die terug om in de oorspronkelijke vorm via de omgekeerde integraaltransformatie.

EDIT: Blijkbaar begrijp je het. I.v.m. die andere domeinen: dat hangt af van het soort vergelijking.

Scofield

Maar die "vorm". Bedoel je dan dat dat gewoon anders wordt geschreven? Want ik herinner mij nog iets van dat de Laplacetransformaties vooral gebruikt werden bij systemen en signalen en dat je eigenlijk als argument t hebt wat staat voor "tijd". Heb ik dan verkeerd verstaan?

stoker

'tijd' is inderdaad vaak de veranderlijke van je te transformeren functie.

Maar uit wiskundig standpunt is dat niet belangrijk, het is uiteindelijk gewoon een integraal uitwerken. in tegenstelling tot systeem en signaal analyse waar je met fysische toepassingen werkt.

maar de 'vorm' slaat op iets anders. Je gaat over naar een ander 'universum', van een functie die afhankelijk is van tijd, naar een functie die afhankelijk is van de frequentie bijvoorbeeld. De integraaltransformatie is de machine die een functie van t neemt en die omzet naar een functie van omega.

(door t uit te integreren, en door de aanwezigheid van omega in de kern)

TD

Zou iemand eens (ahv een voorbeeldje) kunnen uitleggen wat je bij een integraaltransformatie doet en wat het nut hiervan is?

Je kan bijvoorbeeld een differentiaalvergelijking omzetten naar een gewone algebraïsche vergelijking, die gemakkelijker op te lossen is.

stoker

In het laatste hoofdstuk van analyse II zal je partiele differentiaalvergelijkingen oplossen met fouriertransformaties, nog even geduld dus.

TD

Een ander voordeel is dat de beginvoorwaarden direct mee opgenomen worden, je moet achteraf dus niet integratieconstantes bepalen aan de hand van beginvoorwaarden. Zie hier bijvoorbeeld.

Scofield

Bedankt voor alle antwoorden!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Oneigenlijke integralen

Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen

Re: Oneigenlijke integralen