Stellingen algebra

Scofield

Haalo, zou iemand volgende stellingen kunnen verduidelijken:

KS is de span van S

1)Is S een vrij deel van de vectorruimte V en V \ KS

lege verz, dan is voor elke

v element van V \ KS de verzameling S υ {v} eveneens vrij.

2)Is S = {v1, . . . , vm} een voortbrengend deel voor V en o geen element van S dan bevat elk vrij

deel van V hoogstens m elementen.

Mijn (intuïtief) mogelijke verklaring voor de eerste stelling is het volgende : S is vrij (of anders gezegd lineair onafhankelijk). Als je er nu nog 1 vector bijneemt die niet in de span ligt en bijgevolg dus geen lineaire combinatie is van de vectoren van S is, heb je er een lineair onafhankelijke vector erbij. Bijgevolg is deze verz. ook lineair onafhankelijk.

De tweede snap ik helemaal niet. Wat is nu in godsnaam de link tussen voortbrengendheid van S en het aantal elementen van de deelruimten van V?

stoker

1) die vrije vectoren kan je zien als een 'onvolledige basis'

met die onvolledige basis kan je nog niet heel de ruimte opspannen waarin je werkt.

er bestaat dus nog een vector die liniair onafhankelijk is van S.

en dus S u die vector is ook vrij.

(merk wel op dan vrije vectoren (soms) wel al een basis zijn)

2)als je een vector v uit V zou voorstellen met LC van m+1 vectoren, weet je dat minstens 1 van die m+1 vectoren een LC zal zijn van de overige. dus je m+1 vectoren zijn afhankelijk van elkaar, met andere woorden: niet vrij

Scofield

stoker schreef:1) die vrije vectoren kan je zien als een 'onvolledige basis'

met die onvolledige basis kan je nog niet heel de ruimte opspannen waarin je werkt.

er bestaat dus nog een vector die liniair onafhankelijk is van S.

en dus S u die vector is ook vrij.

(merk wel op dan vrije vectoren (soms) wel al een basis zijn)

Inderdaad, maar dit is net hetzelfde zeggen als wat ik zei, alleen geef ik een (mogelijke) verklaring voor de lineair onafhanklijkheid van de vector v.

2)als je een vector v uit V zou voorstellen met LC van m+1 vectoren, weet je dat minstens 1 van die m+1 vectoren een LC zal zijn van de overige. dus je m+1 vectoren zijn afhankelijk van elkaar, met andere woorden: niet vrij

Hoe zou je moeten weten dat minstens 1 van die m+1 vectoren een LC zal zijn van de overige?

stoker

Hoe zou je moeten weten dat minstens 1 van die m+1 vectoren een LC zal zijn van de overige?

anders kan S nooit voortbrengend zijn

Scofield

2)als je een vector v uit V zou voorstellen met LC van m+1 vectoren, weet je dat minstens 1 van die m+1 vectoren een LC zal zijn van de overige. dus je m+1 vectoren zijn afhankelijk van elkaar, met andere woorden: niet vrij

Die vectoren van V worden voortgebracht door S, maar hiermee is toch niet aangetoond dat ze onderling lineair afhankelijk zijn?

stoker

ja, je hebt gelijk.

Maar als je elke vector kan voorstellen mbv die m vectoren, met andere woorden de hele ruimte, dan is S dus 'een basis met extra vectoren'. als je meer vectoren gebruikt dan de dimensie van die ruimte, heb je dus minstens 1 vector die LOF is van de andere vectoren. Dan is het dus niet meer vrij.

het is moeilijk uit te leggen omdat het zo logisch en elementair is.

Scofield

Ja, inderdaad. Ik snap het ondertussen. Ik zal de stelling nog eens helemaal uitleggen voor toekomstige bezoekers

De stelling:

Is S = {v1, . . . , vm} een voortbrengend deel voor V en o geen element van S dan bevat elk vrij

deel van V hoogstens m elementen.

Uitleg:

S is een voortbrengend deel voor V, wat wil zeggen dat de span van S = V (dus dat V "opgespannen" wordt door S).

==>(Gebruikmakend van een andere stelling die zegt dat je uit een voortbrengend deel een basis kunt destilleren, construeren we een basis.). Zoals we weten bepaalt de basis de dimensie (=het aantal basisvectoren) van een vrij (=lineair onafhankelijk) deel van een vectorruimte. Nu een basis destilleren wil zegge vectoren "weghalen", dus je aantal vectoren na het weghalen zal kleiner zijn of gelijk zijn aan (als S al een basis is) het aantal elementen van uw oorspronkelijk S, dus de bekomen basis (en tevens het aantal elementen van een vrij deel van S) zal maximaal het oorspronkelijk aantal van S zijn.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Stellingen algebra

Stellingen algebra

Re: Stellingen algebra

Re: Stellingen algebra

Re: Stellingen algebra

Re: Stellingen algebra

Re: Stellingen algebra

Re: Stellingen algebra