[wiskunde] limieten

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 23-02-'08, 23:28

Compa

Berichten: 63

[wiskunde] limieten

Hallo allemaal,

Ik heb een probleem met limietsommen.

Ik vraag mij namelijk of mijn manier voor t oplossen van limietsommen goed is.


\( \lim x \rightarrow 0 \)
\( \frac{\cos3x - \cos x}{x^2} \)
\( \lim x \rightarrow 0 \)
\( \frac{\cos3x - 1}{3x}\cdot\frac{3x - \cos x}{x^2} \)
mag/klopt dit? En zo ja, klopt dit dan ook?
\( \lim x \rightarrow 0 \)
\( \frac{\cos3x - 1}{3x}\cdot \frac{3x}{x^2} - \frac{\cos x}{x^2} \)
\( \lim x \rightarrow 0 \)
\( \frac{\cos3x - 1}{3x}\cdot \frac{1}{3x} - \frac{\cos x}{x} \cdot \frac{x}{x^2}\)
Dit moet dan leiden tot :
\( 1 \cdot \infty - 1 \cdot \infty \)
\( = 0 \)
?

Of klopt dit niet?

en de tweede limietsom:
\( \lim x \rightarrow 0 \)
\( \frac{\sin^2 2x}{\tan^2 1/2x} \)
Hoe los ik dit op?

Bedankt!
Omhoog

Bericht 23-02-'08, 23:42

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] limieten

bij limiet (1): gebruik L'hopital tweemaal zodat de noemer een constante wordt.
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 23-02-'08, 23:48

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] limieten

bij je eerste limiet doe je twee dingen verkeerd: limiet van een product is alleen maar product van de limieten als de limieten bestaan.

en oneindig min oneindig is niet nul
Omhoog

Bericht 24-02-'08, 00:00

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] limieten

Bij de tweede limiet kan je ook weer L'hopital toepassen volgens mij komt er dan nul uit.
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 24-02-'08, 00:44

Compa

Berichten: 63

Re: [wiskunde] limieten

Bedankt voor jullie reacties dirkwb en Stoker.

dirkwb, ik heb nog nooit de regel van l'hopital geleerd. Maar zoals ik op internet lees, gebruik je hem dus door de afgeleide van
\( \frac {f(x)}{g(x)} \)
te nemen. En onder 'gebruik L'hopital tweemaal' versta ik dus 2 keer achter elkaar differentieren? . Ik kom dan uit op
\( \frac{-9 \cos (3x) + \cos x}{2} \)
. klopt dit?

En wat ik mij ook afvraag is of ik dan als volgt te werk mag gaan:
\( \frac{-9 \cos (3x) + \cos x}{2}\)


=
\( \frac{-9 \cos (3 \cdot 0) + \cos 0}{2}\)


=
\( \frac{-9 + 1}{2}\)


=
\( -4\)
En bedankt Stoker, ik dacht dat oneindig min oneindig 0 was.
Omhoog

Bericht 24-02-'08, 10:35

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] limieten

En bedankt Stoker, ik dacht dat oneindig min oneindig 0 was.
oneindig - oneindig is niet gedifinieerd, omdat het nog vanalles kan zijn (nul kan ook nog)

vb) (met x -> oneindig

1) x²-(2x-1) = (x-1)² -> + oneindig

2)x-x = 0
Omhoog

Bericht 24-02-'08, 11:02

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] limieten

Compa schreef:Bedankt voor jullie reacties dirkwb en Stoker.

dirkwb, ik heb nog nooit de regel van l'hopital geleerd. Maar zoals ik op internet lees, gebruik je hem dus door de afgeleide van
\( \frac {f(x)}{g(x)} \)
te nemen. En onder 'gebruik L'hopital tweemaal' versta ik dus 2 keer achter elkaar differentieren? . Ik kom dan uit op
\( \frac{-9 \cos (3x) + \cos x}{2} \)
. klopt dit?

En wat ik mij ook afvraag is of ik dan als volgt te werk mag gaan:
\( \frac{-9 \cos (3x) + \cos x}{2}\)


=
\( \frac{-9 \cos (3 \cdot 0) + \cos 0}{2}\)


=
\( \frac{-9 + 1}{2}\)


=
\( -4\)
En bedankt Stoker, ik dacht dat oneindig min oneindig 0 was.
Dat lijkt me goed!
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 24-02-'08, 14:31

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: [wiskunde] limieten

Als je L'hopital nog niet gehad hebt is het handig om zonder te doen. (Misschien mag je L'hopital niet op je tentamen gebruiken?)

Daarom een schetsje hoe het anders kan:

1)
\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos{3x}-\cos{x}}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{4 \cos^3{x}-4\cos{x}}{x^2}=\lim_{x \rightarrow 0} -4\cos{x} \cdot \frac{\sin^2{x}}{x^2}=-4\)


2)
\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2{2x}}{\tan^2{\frac{x}{2}}}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{4 \sin^2{x} \cos^2{x}}{\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}} =0 \)
Als je iets niet volgt geef het dan door.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 24-02-'08, 14:44

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] limieten

\( tan^2 \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{sin^2(x)}{(1+cos(x))^2} \)


zie: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigo...tric_identities
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 24-02-'08, 14:49

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: [wiskunde] limieten

Klopt, ik ben het kwadraat vergeten.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 24-02-'08, 14:51

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] limieten

Dan wordt de limiet dus niet nul (zoals ik eerder vermeldde) maar 8, toch?
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 24-02-'08, 14:53

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: [wiskunde] limieten

Klopt, maar het wordt 16
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 24-02-'08, 14:54

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] limieten

:D nu vergeet ik het kwadraat!
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 24-02-'08, 14:56

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: [wiskunde] limieten

Muziek zal ons goed doen :D

:D
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 24-02-'08, 18:04

Compa

Berichten: 63

Re: [wiskunde] limieten

Morzon schreef:Als je L'hopital nog niet gehad hebt is het handig om zonder te doen. (Misschien mag je L'hopital niet op je tentamen gebruiken?)

Daarom een schetsje hoe het anders kan:

1)
\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos{3x}-\cos{x}}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{4 \cos^3{x}-4\cos{x}}{x^2}=\lim_{x \rightarrow 0} -4\cos{x} \cdot \frac{\sin^2{x}}{x^2}=-4\)


2)
\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2{2x}}{\tan^2{\frac{x}{2}}}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{4 \sin^2{x} \cos^2{x}}{\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}} =0 \)
Als je iets niet volgt geef het dan door.
Dank u wel, maar ik snap niet hoe u bij 1) van
\(\cos(3x) \)
naar
\( \cos^3(x)\)
gaat, en waar komt die 4 vandaan bij de tweede stap?
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”