Laatste berichten
-
19:19
Vogels in de stad zijn goede klussers 1
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
19:07
wig 1
-
18:15
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 8
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
12:01
Gravity and gravitation 1
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Onregelmatige vijfhoek
-
- Berichten: 3.330
Onregelmatige vijfhoek
Men verbindt de middens van een onregelmatige vijfhoek; dan de middens van de nieuwe vijfhoek; dan de middens van de nieuwe vijfhoek enz. .Gaat dit oneindig door of gaat men naar een punt en welk punt eventueel?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 24.578
Re: Onregelmatige vijfhoek
Verplaatst naar meetkunde.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Onregelmatige vijfhoek
De vijf hoekpunten in het complexe vlak:
en deze som convergeert voor
\(z_1, z_2, z_3, z_4, z_5\)
Na de eerste keer\(\frac{z_1+z_2}{2}, \frac{z_2+z_3}{2}, \frac{z_3+z_4}{2}, \frac{z_4+z_5}{2}, \frac{z_5+z_2}{2}\)
en met volledige inductie na n keer:\(\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{s=0}^{n}\left( \begin{array}{c}n \\s \end{array} \right) x_{(i+s) \mbox{ mod }5 + 1}\)
voor i=1,2,3,4,5.en deze som convergeert voor
\(n \to \infty\)
naar \(\frac{\sum_{s=1}^{5}x_i}{5}\)
-
- Berichten: 3.330
Re: Onregelmatige vijfhoek
Voor mij is dit nogal ingewikkeld. Mijn vraag: Is die uitkomst een speciaal punt van de onregelmatige veelhoek? Ik denk eerder aan een uitkomst
\(\frac{1}{5}(z_1+z_2+z_3+z_4+z_5)\)
.Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: Onregelmatige vijfhoek
Ik denk eerder aan een uitkomst\(\frac{1}{5}(z_1+z_2+z_3+z_4+z_5)\).
\(=\frac{\sum_{s=1}^{5}x_s}{5}\)
-
- Berichten: 24.578
Re: Onregelmatige vijfhoek
Je kent de sigmanotatie voor een som toch wel?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 3.330
Re: Onregelmatige vijfhoek
Het was juist mijn bedoeling, er de nadruk op te leggen dat het zwaartepunt van de opeenvolgende veelhoeken hetzelfde blijft als het zwaartepunt van de eerste veelhoek en het zo veel gemakkelijker is om het gewenste resultaat te krijgen. Ik heb nooit beweerd dat PeterPan fout zat, alhoewel er toch een verschil is tussen
\(x_i\mbox{ en }z_i\)
.Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 24.578
Re: Onregelmatige vijfhoek
Dan had ik je verkeerd begrepen. Omdat je zei "ik dacht eerder aan een uitkomst..." leek je te impliceren dat je een andere uitkomst vond dan PeterPan, terwijl je natuurlijk precies hetzelfde schreef (alleen zonder sigma maar de som uitgeschreven).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 4.502
Re: Onregelmatige vijfhoek
Ik deed een grafische poging:
Begin met vijfhoek A
De eerste opdeling levert een kleinere vijfhoek B op,
de tweede opdeling produceert een vijfhoek C die ongeveer gelijkvormig aan de basisvorm A is,
de derde opdeling een vijfhoek D die ongeveer gelijkvormig is aan vijfhoek B.
Als je de middens van de vijfhoeken A en C doortrekt,lijkt het erop dat er een gezamenlijk zwaartepunt uit rolt,resp.een extreem kleine vijfhoek.
Analytisch bewijs laat ik graag aan derden over!
Begin met vijfhoek A
De eerste opdeling levert een kleinere vijfhoek B op,
de tweede opdeling produceert een vijfhoek C die ongeveer gelijkvormig aan de basisvorm A is,
de derde opdeling een vijfhoek D die ongeveer gelijkvormig is aan vijfhoek B.
Als je de middens van de vijfhoeken A en C doortrekt,lijkt het erop dat er een gezamenlijk zwaartepunt uit rolt,resp.een extreem kleine vijfhoek.
Analytisch bewijs laat ik graag aan derden over!
-
- Berichten: 5.679
Re: Onregelmatige vijfhoek
Ieder hoekpunt wordst steeds 'gemiddeld' over twee opvolgende hoekpunten: noem de eerste 5 hoekpunten
En in het algemeen geldt voor de k-de figuur:
Ik kom op dezelfde expliciete uitkomst als PeterPan, en intuïtief zie ik ook dat dat naar 1/5 moet gaan, maar ik zie zo geen manier om dat even te bewijzen.
\(P_{0,0}\)
t/m \(P_{0,4}\)
. De volgende figuur heeft dan 5 hoekpunten \(P_{1,0}\)
t/m \(P_{1,4}\)
met \(P_{1,n}=\frac{P_{0,n}+P_{0,\overline{n+1}}}{2}\)
waarbij \(\overline{n+1} = n+1 \textrm{ mod } 5\)
.En in het algemeen geldt voor de k-de figuur:
\(P_{k,n} = \frac{1}{2} \left( P_{k-1,n}+P_{k-1,\overline{n+1}} \right)\)
. Ieder hoekpunt van de k-de vijfhoek is dus een gewogen gemiddelde van de 5 oorspronkelijke hoekpunten, waarbij de factoren steeds meer overlappen (dwz overeenkomen).Ik kom op dezelfde expliciete uitkomst als PeterPan, en intuïtief zie ik ook dat dat naar 1/5 moet gaan, maar ik zie zo geen manier om dat even te bewijzen.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 4.502
Re: Onregelmatige vijfhoek
Ik probeerde grafisch met een krachtenfiguur wat uit voor zwaartepuntbepaling,etc.
Voor de geinteresseerden!
Voor de geinteresseerden!
Re: Onregelmatige vijfhoek
Je moet aantonen dat de coefficienten van de hoekpunten
Die coefficienten zijn
Zeg
Dan is
\(z_1,z_2,z_3,z_4,z_5\)
naar \(\frac{1}{5}\)
convergeren.Die coefficienten zijn
\(\frac{1}{2^{n}}\sum_{s=0}^{\infty}\left( \begin{array}{c}n \\5s \end{array} \right),\frac{1}{2^{n}}\sum_{s=0}^{\infty}\left( \begin{array}{c}n \\5s+1 \end{array} \right),\frac{1}{2^{n}}\sum_{s=0}^{\infty}\left( \begin{array}{c}n \\5s+2 \end{array} \right),\frac{1}{2^{n}}\sum_{s=0}^{\infty}\left( \begin{array}{c}n \\5s+3 \end{array} \right),\frac{1}{2^{n}}\sum_{s=0}^{\infty}\left( \begin{array}{c}n \\5s+4 \end{array} \right)\)
Zeg
\(f(x) = \sum_{s=0}^{n}\left( \begin{array}{c}n \\s \end{array} \right)x^s = (1+x)^n\)
en \(\phi = \exp(\frac{2\pi}{5})\)
Dan is
\(\sum_{k=0}^4 f(\phi^k) = 5\sum_{s=0}^{\infty}\left( \begin{array}{c}n \\5s \end{array} \right)\)
en\(\sum_{k=0}^4 f(\phi^k) = \sum_{k=0}^4 (1+\phi^k)^n\)
ergo\(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^{n}}\sum_{s=0}^{\infty}\left( \begin{array}{c}n \\5s \end{array} \right) = \frac{1}{5}\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^4 (\frac{1+\phi^k}{2})^n = \frac{1}{5}\)
Met de andere coëfficienten een analoog verhaal.