[wiskunde] integralen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 689

[wiskunde] integralen

Hallo,

We kregen vanuit school een tachtigtal integralen mee die we in de paasvakantie moeten oplossen, 50 in de eerste opgave, en 30 in de tweede. We moeten ze niet allemaal maken, de opdracht is niet verplicht, zolang we er maar enkele maken. Momenteel zit ik aan nummer twintig, en geraak ik even niet verder, als jullie me zouden kunnen helpen zou dat handig zijn.

Als ik later weer tegen een integraal stoot die ik niet vind, zal ik deze ook in deze topic posten.

20)
\(\int e^x \sin 2x dx\)
Ik heb deze oefening nog niet proberen op te lossen met behulp van substitutie of splistsing, aangezien de titel van de tweede opgave is 'Los deze integralen op m.b.v. substitutie of splitsing' en de titel van de eerste opgave, waar deze opgave bij hoort, 'Los deze integralen op'. Partieelbreuken en zo zagen we al, maar de leerkracht zei dat we die stof nog niet nodig hebben voor deze basisintegralen.

Ik vond al:
\(\int e^x \sin 2x dx = \int e^{x + \ln (\sin 2x)} dx\)
, maar daarmee loop ik vast.

Ook vond ik al:
\(\int e^x \sin 2x dx = \int 2e^x \sin x \cos x dx\)
, maar ook hier geraak ik niet echt verder...

Alle hulp wordt geapprecieerd!

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] integralen

Dat ziet er partiele integratie uit (Twee keer). Als je een exp(x) ziet staan mag je daar al eens aan denken, want de afgeleide is weer exp(x)

en kon dit niet in het grote integralentopic?

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] integralen

dus
\(\int e^x sin(2x) dx= e^x sin(2x) - \int e^x d(sin(2x)) = e^x sin(2x) - 2 \int e^x cos(2x) \)
\( = e^x sin(2x) -2\left( e^x cos(2x) - \int e^x d(cos(2x)) \right) = e^x sin(2x) -2\left( e^x cos(2x) + 2 \int e^x sin(2x) dx \right) \)
en dus
\( \int e^x sin(2x) dx = \frac{1}{5}\left( e^x sin(2x) -2 e^x cos(2x) \right)\)


op een eventueel schoonheidsfoutje na

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integralen

Ik denk dat HosteDenis dat ook wel had kunnen vinden met een gerichte hint, helemaal uitwerken hoeft dan niet. Er zitten geen schoonheidfoutjes in, ttz de oplossing klopt (+ integratieconstante).

Het idee is dus twee keer partiële integratie toe te passen (zelfde functie als f of g nemen, als je wisselt draai je in een rondje) om dan de oorspronkelijke integraal terug te vinden met een bepaalde coëfficiënt (verschillend van 1).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [wiskunde] integralen

We kregen vanuit school een tachtigtal integralen mee die we in de paasvakantie moeten oplossen, 50 in de eerste opgave, en 30 in de tweede.
:D ze gunnen jullie blijkbaar geen vakantie :P

Tip: maak eerst enkele makkelijke (niet te veel), dan de moeilijke en de rest gaat vanzelf.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integralen

Ze zijn niet allemaal verplicht, dus dat valt wel mee :D

Op zich is het best een goed idee, integralen oplossen is typisch iets dat je leert door er veel te maken. In tegenstelling tot afgeleiden is er geen standaard recept dat je altijd kan doorlopen. Hoe meer integralen je maakt, hoe meer verschillende types je zelf kan oplossen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [wiskunde] integralen

Klopt, in ons boek vroeger (van basis to limiet) stonden massa's oefeningen en daar heb ik er heel veel van gemaakt ...
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: [wiskunde] integralen

Als je een andere mogelijkheid wilt, dan kan dat ook. Maak dan gebruik van
\(sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integralen

Dat lijkt me niet de bedoeling, dit is duidelijk een opgave voor partiële integratie (ik denk overigens dat het in deze hele reeks integralen niet de bedoeling is om met complexe getallen te werken).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: [wiskunde] integralen

Alvast bedankt voor de uitwerking jongens, alleen vrees ik dat het niet de bedoeling is ze op te lossen met partiële integratie (zoals ik zei in mijn beginpost).

De oefenining bestaat namelijk uit allemaal basisintegralen en ik denk niet dat het de bedoeling is dat je partiële integratie toepast. Om dat even aan te tonen toon ik enkele andere opgaven uit dezelfde oefening:

1)
\( \int \frac{x^2 \sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x^3}} dx = \int x^{\frac{19}{12}} dx = \frac{12 \sqrt[12]{x^{31}}}{31} + c\)
6)
\( \int \frac{\sin t}{\cos^5 t} dt = \int \cos^{-5} t \cdot \sin t \; dt = \frac{\cos^{-4} t}{4} +c\)
14)
\( \int \frac{dx}{\sin^2 x \cdot \sqrt{\cot x -1}} = \int \frac{1}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\sqrt{\cot x -1}} dx = -2 \sqrt{\cot x -1} +c\)
Wat ik wil duidelijk maken met deze oefeningen op te schrijven, is dat alle integralen van de oefening zouden moeten kunnen gevonden worden door er basisintegralen in te herkennen. Ik denk niet dat het de bedoeling is partiële integratie toe te passen.

Ik wil jullie oplossing nu niet afkraken, maar zouden jullie het zien zitten eens te helpen zoeken er een basisintegraal in te vinden? dat is ook wat ik probeerde door
\(\int e^x \sin 2x \; dx \)
te schrijven als
\(\int e^{x + \ln (\sin 2x)} dx\)
Gewoon helpen is voldoende, je moet de oplossing zeker niet in zijn geheel geven hoor! (Aangezien de oefeningen niet verplicht zijn maak ik ze enkel om bij te leren, niet omdat het echt moet. Een duwtje in de goede richting is al voldoende.)

Alvast bedankt!

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: [wiskunde] integralen

In dat geval is het misschien "leuk" om dat een keer gezien te hebben. :D
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integralen

Ben je zeker dat partiële integratie nog niet gezien is bij deze oefeningenreeks?

Het is zonder twijfel een typeopgave voor die techniek, met de methode van stoker.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: [wiskunde] integralen

TD schreef:Ben je zeker dat partiële integratie nog niet gezien is bij deze oefeningenreeks?

Het is zonder twijfel een typeopgave voor die techniek, met de methode van stoker.
We hebben ondertussen reeds methodes als substitutie, splitsing, partiële integratie, partieelbreuken, ... al gezien, maar mijn leerkracht zei bij het uitdelen van deze 80 oefeningen dat de eerste 50 allemaal te herleiden waren tot basisintegralen, maar dat we wel beter substitutie en splitsing en partiële integratie gebruiken bij de laatste 30.

Als ik echt geen andere oplossing vind met basisintegralen, zal ik de oefening wel oplossen met partiële integratie. Dan zou ik het natuurlijk wel vreemd vinden.

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [wiskunde] integralen

\(\frac{d}{dx}{e}^{x}\sin\left( 2\,x\right)= {e}^{x}\sin\left( 2\,x\right) +2\,{e}^{x}\cos\left( 2\,x\right) \)
integreer nu beide leden

Doe hetzelde met de variant van de cos, en trek je conclusies
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] integralen

Dit is essentieel een product van twee functies van "verschillende aard", je kan dit volgens mij niet zomaar herleiden naar een standaardintegraal (als je reëel blijft werken, dat lijkt me wel de bedoeling).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer