[wiskunde]

noussie

Hallo,

Ik moet een voorbeeld geven over hoe je moet rekenen met de Taylorreeks, met de functie ln(1+x).

Ik weet alleen niet hoe je de afgeleide van ln(1+x) moet berekenen, ik weet wel dat van ln(x) wordt het 1/x. Ik wil graag de eerste vijf afgeleiden van ln(1+x) weten, en in het kort hoe dat je daaraan komt.

Morzon

Maak gebruik van de kettingregel:

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)

Voorbeeld:

\(y=(x^2+1)^2\)

stel:

\(u=(x^2+1)\)

Dus:

\(y=u^2 \Rightarrow \frac{dy}{du}=2u\)

en

\(u=x^2+1 \Rightarrow \frac{du}{dx}=2x\)

dus

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}=2u \cdot 2x=2(x^2+1) \cdot 2x\)

thermo1945

Pas nu de kettingregel toe op de gegeven functie.

noussie

Uhmm juist.. alleen hoe moet het dan met ln(1+x)?? want nu kom ik nog niet ver, en kan ik dat dan elke keer opnieuw doen? Dus als ik de derde afgeleide wil weten moet ik dan de kettingregel toepassen op de de tweede afgeleide?

nog bedankt btw.

dirkwb

Kijk naar Morzon's post: neem nu

\( y=ln(u)\)

met

\( u= 1+x \)

HosteDenis

noussie schreef:Uhmm juist.. alleen hoe moet het dan met ln(1+x)?? want nu kom ik nog niet ver, en kan ik dat dan elke keer opnieuw doen? Dus als ik de derde afgeleide wil weten moet ik dan de kettingregel toepassen op de de tweede afgeleide?

nog bedankt btw.

Inderdaad.

Zo zal de kettingregel bij een natuurlijk logaritme er als volgt uitzien:

\(\frac{d \left( \ln (u) \right)}{dx} = \frac{\frac{du}{dx}}{u}\)

.

Aangezien je de kettingregel nog niet te goed kent, neem ik aan dat je bekender bent met de functievorm:

De afgeleide van functie f met

\(f(x) = \ln \left( g(x) \right) \)

is gelijk aan

\(\frac{g'(x)}{g(x)} \)

.

In jouw geval is g(x) = x+1.

Bereken nu zelf de eerste 5 afgeleiden.

Denis

Morzon

noussie schreef:Dus als ik de derde afgeleide wil weten moet ik dan de kettingregel toepassen op de de tweede afgeleide?

nog bedankt btw.

\(y=\ln{1+x}\)

\(u=1+x\)

\(y^{(1)}=\frac{1}{1+x}\)

Als je de kettingregel wilt ontwijken kan je nu telkens (voor de tweede tot nde afgeleide) de quotiëntregel gebruiken.

Zie hier voor meer uitleg en uitgewerkte voorbeelden voor de som-, product-, quotiënt- en de kettingregel.

TD

noussie schreef:Uhmm juist.. alleen hoe moet het dan met ln(1+x)?? want nu kom ik nog niet ver, en kan ik dat dan elke keer opnieuw doen? Dus als ik de derde afgeleide wil weten moet ik dan de kettingregel toepassen op de de tweede afgeleide?

nog bedankt btw.

Je lijkt toch nog wat in de war: de kettingregel heb je niet nodig om hogere afgeleiden op zich te bepalen. Je gebruikt de kettingregel bij het bepalen van eender welke afgeleide, als de functie een samengestelde functie is.

Je weet dat de afgeleide van ln(x) gelijk is aan 1/x. Met de kettingregel geldt dan dat de afgeleide van ln(f(x)) gelijk is aan 1/f(x), vermenigvuldigd met de afgeleide van f(x). Hier is f(x) = x+1...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde]

[wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]