Vectoren en complexe getallen

thermo1945

Elk probleem, dat je kunt oplossen met tweedimensionale vectoren, kun je ook oplossen met complexe getallen.

Ook het omgekeerde geldt.

Kunt u het daar mee eens zijn?

Rudeoffline

thermo1945 schreef:Elk probleem, dat je kunt oplossen met tweedimensionale vectoren, kun je ook oplossen met complexe getallen.

Ook het omgekeerde geldt.

Kunt u het daar mee eens zijn?

Je kunt een complex getal altijd representeren als een vector met als basis (1,i) en met als eigenschap i*i=-1. Dus dat lijkt me wel.

Hoezo?

PeterPan

Morzon

Kan je een voorbeeld?

PeterPan

Kan je een voorbeeld?

Hoeveel voorbeelden wil je hebben?

Voorbeeld:

Gegeven een regelmatige n-hoek met middelpunt M. Noem een van de hoekpunten A.

Op AM ligt een punt X.

Toon aan dat het product van alle afstanden van X tot de hoekpunten van de n-hoek kleiner is dan AM.

PeterPan

Bewijs:

ZDATS (Zonder de algemeenheid te schaden) mogen we aannemen dat A op de positieve x-as ligt en M in de oorsprong. AM is de lengte-eenheid, dus AM=1, MX=

\(x\)

.

Het product van de afstanden van X tot de hoehpunten is

\(|x-e^{\frac{2\pi i}{n}}||x-e^{\frac{2\cdot2\pi i}{n}}|\cdots |x-e^{\frac{n\cdot2\pi i}{n}}| = |x^n-1| = 1-x^n<1 = \mbox{ AM}\)

.

Ik zie uit naar het bewijs met vectoren.

Phys

@Peterpan, weet je ook een voorbeeld van een probleem dat je wel met vectoren, maar niet met complexe getalen kunt oplossen?

Lucas N

Je kunt niet een vector delen door een vector. Dat gaat wel met complexe getallen.

PeterPan

@Peterpan, weet je ook een voorbeeld van een probleem dat je wel met vectoren, maar niet met complexe getalen kunt oplossen?

Wat je in 2D met met vectoren kunt, kun je ook met complexe getallen. Maar vectoren heb je ook in 3D, en daar komen ze veel beter tot hun recht (denk maar aan b.v. het uitproduct).

Er zijn 2D problemen die je pas op kunt lossen als onderdeel van een 3D constructie. Die problemen zijn dus met (3D)-vectoren en niet met complexe getallen aan te pakken.

thermo1945

Je kunt een complex getal altijd representeren als een vector met als basis (1,i)

Is een basis niet (1,0) en (0,i)?

PeterPan schreef:Wat je in 2D met met vectoren kunt, kun je ook met complexe getallen. Maar vectoren heb je ook in 3D, en daar komen ze veel beter tot hun recht (denk maar aan b.v. het uitproduct).

Er zijn 2D problemen die je pas op kunt lossen als onderdeel van een 3D constructie. Die problemen zijn dus met (3D)-vectoren en niet met complexe getallen aan te pakken.

Je stapt nu buiten het gestelde.

thermo1945

PeterPan schreef:
\(|x-e^{\frac{2\pi i}{n}}||x-e^{\frac{2\cdot2\pi i}{n}}|\cdots |x-e^{\frac{n\cdot2\pi i}{n}}| = |x^n-1| = 1-x^n<1 = \mbox{ AM}\)
Je kunt niet een vector delen door een vector. Dat gaat wel met complexe getallen.
Vermeniguldigen met i komt overeen met draaien over 90° . Jouw voorbeeld en het mijne is nog niet het oplossen van een probleem.

Phys

Je stapt nu buiten het gestelde.

Maar PeterPan zegt duidelijk "Wat je in 2D met met vectoren kunt, kun je ook met complexe getallen". Dus hij is het eens met de ene richting, maar niet omgekeerd (wat je met complexe getallen kunt, kun je ook met 2D-vectoren). In je openingspost wordt echter gesteld dat beide richtingen gelden.

thermo1945

PeterPan schreef:Wat je in 2D met met vectoren kunt, kun je ook met complexe getallen. Maar vectoren heb je ook in 3D, en daar komen ze veel beter tot hun recht (denk maar aan b.v. het uitproduct).

Er zijn 2D problemen die je pas op kunt lossen als onderdeel van een 3D constructie. Die problemen zijn dus met (3D)-vectoren en niet met complexe getallen aan te pakken.

Er bestaan 'meerdimensionale complexe getallen', bijvoorbeeld

Hoeveel voorbeelden wil je hebben?

Ten gunste of ten ongunste?

The Black Mathematician

Je kunt niet een vector delen door een vector. Dat gaat wel met complexe getallen.

Als je

\(\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\)

gelijk wilt stellen aan

\(a+bi\)

dan kan je wel degelijk deling invoeren door te definiëren dat

\(\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right)=\frac{1}{c^2+d^2}\left(\begin{array}{c}ac+bd\\bc-ad\end{array}\right)\)

analoog aan deling van complexe getallen

\((a+bi)/(c+di)=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)

Vermenigvulding tussen vectoren moet je dan ook definiëren als

\(\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ac-bd\\bc+ad\end{array}\right)\)

analoog aan

\((a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i\)

PeterPan

Wat doe jij moeilijk zeg.

Vermenigvuldigen kan veel eenvoudiger

\(\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ac\\bd\end{array}\right)\)

Wat is jouw formule voor

\(e^{\pi i} = -1\)

en

\(\log(i) = i\frac{\pi}{4}\)

?

Hoe definieer je complexe integratie en analyticiteit?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Vectoren en complexe getallen

Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen

Re: Vectoren en complexe getallen