Rollende vaten

kingtim

hallo, ik ben bezig met een practicum voor natuurkunde waar ik moet kijken waar de tijd die nodig is om een vat naar beneden te laten rollen van afhangt (massa of diameter).

Ik heb verschillende metingen gedaan met als opstelling:

een plank van 1 meter lang op een hoek van 8,4 graden

verschillende holle buizen (diameter 1,3, 1,9 en 3,2 centimeter)

klei, om de massa van de buizen te veranderen (wordt min of meer gelijkmatig verdeeld dus het zwaartepunt blijft in het midden).

nu heb ik resultaten gekregen waaruit blijkt dat de massa van zo'n buis niet uitmaakt, maar de diameter wel (hoe groter de diameter, des te sneller de buis rolt).

maar hoe kan je zelf de tijd uitrekenen die zo'n buis nodig heeft om naar beneden te rollen? (zodat je kan voorspellen hoe snel een buis met een bepaalde diameter zou gaan)

mijn docent gaf als hint dat ik de formule van de slingertijd moest gebruiken ( T= 2piwortel(lengte/valversnelling) )

maar ik kom er niet helemaal uit.

als L gebruik ik de diameter van de buis (of moet het de straal zijn?)

de valversnelling is volgens mij 9,81 (of moet het anders zijn omdat het op een helling is?)

als ik dit invoer voor de buis met een diameter van 1,3 cm (0,013 m) dan krijg ik T=0,229 s

dat is dus de tijd die nodig is voor het vat om 1 volledig rondje te draaien.

de omtrek van de buis is pi*diameter = 0,0408 meter

dus dan zou de buis een snelheid hebben van 0,0408/0,229 = 0,178557 m/s

maar dan zou de buis er 5,6 seconden over doen om 1 meter af te leggen, terwijl mijn metingen zeggen dat de buis er 1,92 seconden over doet! dus mijn berekening kan niet kloppen.

kunnen jullie mij vertellen wat ik hier fout doe?

Jan van de Velde

Ken je de termen traagheidsmoment, hoeksnelheid en hoekversnelling? Ik zie je deze niet noemen. Zonder bekendheid met dat soort dingen is er geen beginnen aan enige berekening.

Op welk niveau zit je? Wat is nou eigenlijk precies de bedoeling dat je leert uit dit proefje?

kingtim

ik zit in de 5e klas van het vwo maar de termen hoeksnelheid en hoekversnelling heb ik nooit gehad. Ik heb het even snel opgezocht (wikipedia) en daar zie ik dat je de hoeksnelheid kan uitrekenen met w= 2*pi*1/T, kan ik dit gewoon gebruiken met de T die ik heb uitgerekend?

het is een open onderzoek waar wij zelf wat mochten kiezen, "rollende vaten" zat tussen het lijstje, en het leek me we interessant. ik kan trouwens geen ander onderwerp meer kiezen (hier zit ik aan vast).

Jan van de Velde

Oei, dat wordt dan een stoomcursus rotatie........

Laten we dit maar aanpakken via energie.

Ik neem aan dat je wel al weet dat je de bewegingsenergie van een voorwerp uitrekent met ½mv², en de zwaarte-energie met mgh? En ik hoop dat je de hoogte, lengte en hoek van je helling nog weet?

In je huidige natuurkundeboek toevallig geen hoofdstuk over rotatie, traagheidsmoment (impulsmoment) ?

jhnbk

doe eens een regressie, dan kan je al iets te weten komen.

En zoals Jan vdv al zei is hier de rotatie-energie van belang. Ik had daar vroeger wel duidelijk nota's over, die het begrip aanbrachten op enkele pagina's. (Niveau 6aso)

kingtim

Ik neem aan dat je wel al weet dat je de bewegingsenergie van een voorwerp uitrekent met ½mv², en de zwaarte-energie met mgh? En ik hoop dat je de hoogte, lengte en hoek van je helling nog weet?

ja, bewegingsenergie en zwaarte energie hebben we gehad. de hoek van mijn helling was 8,36 graden, de schuin was de helling was 1,00 meter, de hoogte van de helling was 0,145 meter,

ik heb geen natuurkunde boek met een hoofdstuk over traagheidsmoment of inpulsmoment, maar wel een hoofdstuk over eenparige cirkelbewegingen (hoeksnelheid en baansnelheid), maar ik denk niet dat ik daar veel aan heb (de buis versnelt immers).

Jan van de Velde

Je buis heeft bovenaan de helling een potentiële energie mgh.

Zou nou een massa wrijvingsloos naar beneden schuiven, dan heb je alleen maar met translatie te maken. Onderaan de helling is dan al je potentiële energie omgezet in bewegingsenergie ½mv². Hoe meer massa je op gang moet brengen, hoe meer energei dat kost. Dat noem je ook wel de traagheid van een lichaam.

Tot zover simpel.

Dan kijken we naar een schijf die om zijn middelpunt roteert. Dat middelpunt beweegt niet. Tóch kost het energie om dat ding aan het draaien te brengen. Dat voldoet verder aan alle behoudswetten, die energie kun je er ook weer uithalen, denk maar aan een vliegwiel. Je kunt je daarbij indenken dat de benodigde energie afhangt niet alleen van de massa van je schijf, (zoals ook de m in ½mv²) maar ook van hóe die massa verdeeld is over de schijf. Prop alle massa samen in het middelpunt, of verdeel het over de schijf, of breng het allemaal naar de rand van de schijf, bij dezelfde hoeksnelheid ω heb je steeds meer energie nodig.

Ofwel, niet alleen de massa m is belangrijk, ook de afstand r tot het middelpunt doet ertoe. Dat kun je vergelijken met het moment van een gewicht aan een balans. Nu praten we dus niet meer over traagheid in de vorm van massa m, maar over een traagheidsmoment J .

Bij een balans doet niet alleen het gewicht doet ertoe, ook de arm (tot het draaipunt). Wil je het totale moment van meerdere gewichten weten, dan moet je al die afzonderlijke momenten optellen.

Zo kun je ook voor een draaiend lichaam traagheidsmomenten optellen. J van een lichaam bereken je door een optelsom te maken van alle (puntmassa's x hun arm in het kwadraat) : J= Σm·R².

zo heb je dus in J de rotatievorm van massa. Dat klinkt vreselijk ingewikkeld, en dat kan het ook zijn. Maar voor simpele standaardlichamen zoals een theoretisch oneindig dunne hoepel die rond zijn as draait, een schijf, een staaf, etc etc zijn die berekeningen natuurlijk allemaal al eens uitgevoerd. Voor de dingen die voor jou van belang zijn:

dunwandige holle cilinder rond zijn lichaamsas : J = m·R² (niet gek, alle massa bevindt zich op dezelfde afstand tot de as)

homogene massieve cilinder rond zijn lichaamsas : J= ½m·R²

Een dikwandige holle cilinder met binnenstraal R₁ en buitenstraal R₂ : J = ½m·(R₂² + R₁²)

In plaats van m in ½mv² hebben we nu een J . In plaats van de snelheid v gaan we nu een hoeksnelheid ω nodig hebben, en dus niet in m/s maar in rad/s. Nog steeds een behoorlijk nette overeenkomst: rotatie-energie bereken je simpelweg met

Er = ½·J·ω²

Je krijgt nu dus voor de pijp die van je helling afrolt de energievegelijking:

mgh_boven = (½mv² + ½·J·ω²)_beneden

Die is eenvoudiger op te lossen dan je denkt. J kun je van te voren bepalen en er is een vaste relatie tussen v en ω

kingtim

oké dus

mghboven = (½mv² + ½·J·ω²)beneden

ω is in rad/s om dat dan naar v om te zetten heb je de omtrek van de buis nodig (als ω=2pi dan doet mijn buis 1 rondje per seconde wat dan de omtrek/seconde is), het verband tussen ω en v zou dan zijn: ω*omtrek/2pi = v

zit ik hier een beetje goed?

en nu komt het gedeelte wat ik zeeeer waarschijnlijk foutdoe.

je heb dan deze formule

mgh = (½m*(ω*omtrek/2pi)² + ½*J*ω²)

wat dan dit word:

mgh = (½m*omtrek²/4pi²*ω² + ½*J*ω²)

wat weer bij elkaar gevoegd kan worden:

mgh = (m*omtrek²/8pi² + ½J) * ω²

dus:

ω² = (mgh)/(m*omtrek²/8pi² + ½J)

en

ω =

(mgh)/(m*omtrek²/8pi² + ½J)

ik kan hier niet echt iets fouts in vinden maar ik weet dat het wel fout is! (heel frustrerend omdat het waarschijnlijk iets simpels is).

Ruben01

Ik ben gestart met:

\( mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}J{\omega}^{2}\)

(net zoals jij)

Als je weet dat

\(v=\omega ^2 \cdot R \)

dan krijg je een vergelijking die eenvoudiger is dan jouw vergelijking omdat die v verder is uitgewerkt. Je vgl. is dus makkelijker om verder te rekenen.

\(mgh=\frac{1}{2}m{\omega}^{2}{R}^{2}+\frac{1}{2}J{\omega}^{2}\)

Mijn oplossingen zijn:

\(\frac{ \sqrt{Jm(2gh-v^2)}}{J}\)

;

\(-\frac{ \sqrt{Jm(2gh-v^2)}}{J}\)

Sjakko

kingtim schreef:ω is in rad/s om dat dan naar v om te zetten heb je de omtrek van de buis nodig (als ω=2pi dan doet mijn buis 1 rondje per seconde wat dan de omtrek/seconde is), het verband tussen ω en v zou dan zijn: ω*omtrek/2pi = v

zit ik hier een beetje goed?

Ja hier zit je goed, maar het kan makkelijker; merk op dat omtrek/(2pi)=straal buis=r ofwel: v=ωr

kingtim schreef:en nu komt het gedeelte wat ik zeeeer waarschijnlijk foutdoe.

ω = (mgh)/(m*omtrek²/8pi² + ½J)

ik kan hier niet echt iets fouts in vinden maar ik weet dat het wel fout is! (heel frustrerend omdat het waarschijnlijk iets simpels is).

Volgens mij is het wel goed. Ik kom uit op

\(\omega=\sqrt{\frac{2mgh}{mr²+J}}\)

Als ik daarin r=omtrek/(2pi) substitueer kom ik na wat uitwerken op jouw antwoord.

Ruben01

Sjakko zijn antwoord is correct !!

Ik kom net hetzelfde uit nu, daarnet was mijn pc blijkbaar verder aan het rekenen met iets dat nog in zijn geheugen zat.

Was nogal onlogisch ook dat v nog in de eindoplossing zat

kingtim

Sjakko zijn antwoord is correct !!

Ik kom net hetzelfde uit nu, daarnet was mijn pc blijkbaar verder aan het rekenen met iets dat nog in zijn geheugen zat.

Was nogal onlogisch ook dat v nog in de eindoplossing zat icon_razz.gif

pfew gelukkig, ik zat al helemaal na te rekenen ('k snapte er niks meer van!),

maar als ik de formule

\(\omega=\sqrt{\frac{2mgh}{mr²+J}}\)

gebruik dan zou het betekenen dat nog de massa, nog de diameter van de ton zou uitmaken!

de m bovenaan word immer weggehaald door de m onderaan, (dat komt overeen met m'n proefresultaten)

en de r² die word een r (er word immers een wortel overheen gehaald), waardoor, als ik de formule gebruik om v uit te rekenen (ω*r) die twee stralen elkaar ook opheffen!

kan iemand dit bevestigen?

als dit klopt, hoe komt het dan dat in mijn metingen de snelheid wel toeneemt met de diameter? of is dit gewoon resultaat van onnauwkeurig meten?

Ruben01

De straal van je cilinder is ook nog verwerkt in het traagheidsmoment J.

Ik zou gewoon in de formule een paar getallen invullen van in jouw situatie en daarna eens kijken of het wel klopt wat je allemaal verteld over die massa en die straal hierboven.

Sjakko

Bij benadering klopt het als je buis voldoende dunwandig is. Als dat het geval is, dan kun je stellen J=mr² met r de buitenstraal. Dan

\(\omega=\sqrt{\frac{2mgh}{mr²+J}}\)

\(=\sqrt{\frac{2mgh}{mr²+mr²}}\)

\(=\sqrt{\frac{gh}{r²}}\)

\(=\frac{1}{r}\sqrt{gh}\)

Waardoor

\(v=\omega r=\sqrt{gh}\)

Ik denk niet dat jouw buizen voldoende dunwandig zijn, dus moet je eigenlijk werken met een binnen- en buitenstraal van de buis! Mocht je wikipedia als bron voor formules gebruiken....de formule voor het traagheidsmoment van een holle cilinder op de NLse wikipedia is fout!

kingtim

Ik denk niet dat jouw buizen voldoende dunwandig zijn, dus moet je eigenlijk werken met een binnen- en buitenstraal van de buis! Mocht je wikipedia als bron voor formules gebruiken....de formule voor het traagheidsmoment van een holle cilinder op de NLse wikipedia is fout!

ja!, dat is het!, ik heb trouwens in excell een (nogal simpele) automatische ton-rol-O-meter gemaakt (als jullie nieuwschierig zijn, zie de bijlage).

iedereen ontzettend bedankt voor jullie hulp (applausje voor jullie

), jullie zullen zeker genoemd worden in mijn verslag!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Rollende vaten

Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten

Re: Rollende vaten