Afbreekfout bij taylorapproximatie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 06-04-'08, 13:48

flamey

Berichten: 244

Afbreekfout bij taylorapproximatie

Gegeven het Taylorpolynoom van graad 2N-1 van de functie sin x rond x=0
\(P_N(x):=\sum_{i=0}^{N-1} (-1)^i \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}\)
met de uitdrukking voor de afbreekfout:
\( \sin x=P_N(x)+R_N(x) \)
Gevraagd is om aan te tonen dat:
\(|R_5(x)| \leq 3.6 \cdot 10^{-6} |\sin x|, x \in [-\pi/2, \pi/2] \)
Als tip wordt gegeven dat je gebruik kan maken voor de ongelijkheid:
\( |x| \leq \frac{\pi}{2}|\sin x|, x \in [-\pi/2, \pi/2] \)
Zelf heb ik geprobeerd het Taylorpolynoom voor N=5 uit te schrijven en door middel van de afbreekfout om te schrijven naar iets wat op de gegeven ongelijkheid lijkt. Dit is me echter niet gelukt. Kan iemand me verder op weg helpen?
Omhoog

Bericht 06-04-'08, 15:19

flamey

Berichten: 244

Re: Afbreekfout bij taylorapproximatie

Ok, ik ben zelf iets verder gekomen.....

Uit de formule voor de restterm vinden we:
\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}\)
met
\(\xi\)
tussen x en 0 en n geeft de graad van de bijbehorende afgebroken Taylorpolynoom.

Dus de restterm voor (hoofdletter) N=5 geeft dan hetzelfde als restterm n=10, wat gelijk is aan:
\(R_5(x)=\frac{f^{(10)}(\xi)}{10!}x^10=\frac{-\sin{\xi}}{10!}x^{10}\)
Deze afbreekfout is maximaal voor:
\(x=\pm\pi/2\)
, dus we kunnen zeggen:
\(|R_5(x)|=\left|\frac{-sin(\xi)}{10!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{10}\right|\leq\left|\frac{-\sin(\xi)}{10!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{10}\right|=2.5202\cdot10^{-5}|\sin{\xi}|=2.5202\cdot10^{-5}|\sin{x}\)
|

Er klopt hier duidelijk iets niet aan.... als ik echter n=10 (kleine n) in de restformule kom ik wel op die 3.6*10^-6 uit, maar heb dan wel een cosinus aan de andere kant van de ongelijkheid staan....

Wat doe ik fout?
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”