Een reeks

Sjuul Jentjens

Beste mensen,

Kan iemand mij verklaren waarom de reeks 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,..... niet sommeerbaar is (er komt geen iend aan), en waarom deze reeks dus doorloop naar oneindig?

Sommige meetkundige rijen zijn namelijk sommeerbaar (vanaf een bepaald moment tel je zó weinig meer op bij het voorgaande dat het bijna geen verschil meer maakt voor de uitkomst), andere niet.

Volgens mij heeft een bekende wiskundige een uitspraak gedaan over het probleem, maar ik weet het niet zeker, vandaar dat ik dit biricht post.

Anonymous

Sjuul schreef:Beste mensen,

Kan iemand mij verklaren waarom de reeks 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,..... niet sommeerbaar is (er komt geen iend aan), en waarom deze reeks dus doorloop naar oneindig?

Sommige meetkundige rijen zijn namelijk sommeerbaar (vanaf een bepaald moment tel je zó weinig meer op bij het voorgaande dat het bijna geen verschil meer maakt voor de uitkomst), andere niet.

Volgens mij heeft een bekende wiskundige een uitspraak gedaan over het probleem, maar ik weet het niet zeker, vandaar dat ik dit biricht post.

noem ie reeks f(n)= 1+1/2+..+1/(n-1)+1/n.

eigenlijk geldt er f(n+1)-f(n)=1+1/2+..+1/(n-1)+1/n+1/(n+1)-(1+1/2+..+1/(n-1)+1/n)=1/(n+1)

f(n+1)-f(n)=1/(n+1)

dus die reeks f(n) is strikt stijgend, als n dus oneindig groot wordt, dan is f(n) ook oneindig groot. en je weet vast wel dat 'oneindig' geen getal is...

rodeo.be

oneindig schreef:
Sjuul schreef:Beste mensen,

Kan iemand mij verklaren waarom de reeks 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,..... niet sommeerbaar is (er komt geen iend aan), en waarom deze reeks dus doorloop naar oneindig?

Sommige meetkundige rijen zijn namelijk sommeerbaar (vanaf een bepaald moment tel je zó weinig meer op bij het voorgaande dat het bijna geen verschil meer maakt voor de uitkomst), andere niet.

Volgens mij heeft een bekende wiskundige een uitspraak gedaan over het probleem, maar ik weet het niet zeker, vandaar dat ik dit biricht post.
noem ie reeks f(n)= 1+1/2+..+1/(n-1)+1/n.

eigenlijk geldt er f(n+1)-f(n)=1+1/2+..+1/(n-1)+1/n+1/(n+1)-(1+1/2+..+1/(n-1)+1/n)=1/(n+1)

f(n+1)-f(n)=1/(n+1)

dus die reeks f(n) is strikt stijgend, als n dus oneindig groot wordt, dan is f(n) ook oneindig groot. en je weet vast wel dat 'oneindig' geen getal is...

dit lijkt me larie....

f(n)=1/2+1/4+1/8+...+1/2**n

is ook strikt stijgend....en zou ook naar oneindig moeten gaan dan

de reden is: de tweede is begrensd, de eerste niet

Anonymous

rodeo.be schreef:
oneindig schreef:
Sjuul schreef:Beste mensen,

Kan iemand mij verklaren waarom de reeks 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,..... niet sommeerbaar is (er komt geen iend aan), en waarom deze reeks dus doorloop naar oneindig?

Sommige meetkundige rijen zijn namelijk sommeerbaar (vanaf een bepaald moment tel je zó weinig meer op bij het voorgaande dat het bijna geen verschil meer maakt voor de uitkomst), andere niet.

Volgens mij heeft een bekende wiskundige een uitspraak gedaan over het probleem, maar ik weet het niet zeker, vandaar dat ik dit biricht post.
noem ie reeks f(n)= 1+1/2+..+1/(n-1)+1/n.

eigenlijk geldt er f(n+1)-f(n)=1+1/2+..+1/(n-1)+1/n+1/(n+1)-(1+1/2+..+1/(n-1)+1/n)=1/(n+1)

f(n+1)-f(n)=1/(n+1)

dus die reeks f(n) is strikt stijgend, als n dus oneindig groot wordt, dan is f(n) ook oneindig groot. en je weet vast wel dat 'oneindig' geen getal is...
dit lijkt me larie....

f(n)=1/2+1/4+1/8+...+1/2**n

is ook strikt stijgend....en zou ook naar oneindig moeten gaan dan

de reden is: de tweede is begrensd, de eerste niet

heeft deze ook een bepaald reeel getal als waarde?

Rogier

heeft deze ook een bepaald reeel getal als waarde?

Ja, 1.

Anonymous

Car schreef:heeft deze ook een bepaald reeel getal als waarde?
Ja, 1.

herstel:

http://forum.scholieren.com/showthread.php...13#post15795513

Revelation

Het is eigenlijk simpel, met oneindige getallen valt niet te rekenen. Daarom is er een limiet-functie.

Kijk hier eens naar:

x = 0.99999999999...... (oneindig = ...)

10x = 9.99999999999...... (maal 10)

10x - x = 9.999999999..... - 0.999999999999..... (aftrekken)

9x = 1

x = 1

Maar daarboven was x nog 0.99999999! Zo zie je dat 0.999999999... gelijk is aan 1 hoe gek het ook mag klinken.

EDIT: verduidelijking waarom ik dit post: een getal wordt dusdanig klein, en de som blijft altijd doorgaan. Je kan alleen rekenen met iets dat een einde heeft.

Rogier

Sjuul Jentjens schreef:Beste mensen,

Kan iemand mij verklaren waarom de reeks 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,..... niet sommeerbaar is (er komt geen iend aan), en waarom deze reeks dus doorloop naar oneindig?

We noemen een rij x₀, x₁, x₂, ... sommeerbaar als lim_{k[pijltje] [sum_k]} x_n bestaat. Die limiet noemen we dan [sum_inf] x_n.

Een noodzakelijke (doch niet voldoende) voorwaarde hiervoor is in ieder geval dat lim_k[pijltje]x_k=0.

Dat een rij als 1/2, 1/4, 1/8, ... sommeerbaar is (en als som 1 heeft) kun je zien doordat 1/2+1/4+1/8+...+2^-n = 1-2ⁿ voor iedere n, en dus limiet L=1 heeft, want voor iedere epsilon.gif>0 is er altijd een N (namelijk -²log(epsilon.gif) afgerond naar boven) zodat |1/2+1/4+1/8+...+2^-n - L|

epsilon.gif

n[grotergelijk]N.

Dat de rij _{[sum_inf]} 1/(n+1) niet sommeerbaar is kun je als volgt zien:

De termen 1/(2^k+1) t/m 1/(2^k+1), dat zijn er zijn 2^k stuks, zijn allemaal

1/(2^(k+1)) = 2^-(k+1). En 2^k[.]2^-(k+1) = 1/2, dus eigenlijk tel je oneindig veel stukken op die allemaal

1/2 zijn.

Als je het uitschrijft:

1 + (1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + ...

1 + (1/2) + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + ...

=

1 + (1/2) + (1/2) + (1/2) + ...

Kortom, 1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2^k)

k/2 [vooralle]k[element]

. Dus [sum_inf] 1/(n+1) =

.

Rogier

oneindig schreef:noem ie reeks f(n)= 1+1/2+..+1/(n-1)+1/n.

eigenlijk geldt er f(n+1)-f(n)=1+1/2+..+1/(n-1)+1/n+1/(n+1)-(1+1/2+..+1/(n-1)+1/n)=1/(n+1)

f(n+1)-f(n)=1/(n+1)

dus die reeks f(n) is strikt stijgend

Uiteraard, als je alleen maar positieve termen bij elkaar optelt, worden de partiële sommen (de f(n)-en) steeds groter.

als n dus oneindig groot wordt, dan is f(n) ook oneindig groot

Nee, dat kun je niet zeggen. Zie boven, het voorbeeld met f(n) = 1-2^-n. Daar is f(n) strikt stijgend maar beslist begrensd (namelijk <1).

Oneindig schreef:herstel:

http://forum.scholieren.com/showthread.php...13#post15795513

Daar wordt over een paar vragen door elkaar gesproken, wat bedoel je precies?

_{[sum_inf]} (1/2)ⁿ⁺¹ is in ieder geval 1 (zoals iedere _{[sum_inf]} cⁿ⁺¹ = c/(1-c) voor 0<c<1), en _{[sum_inf]} 1/(n+1) bestaat niet.

Sjuul Jentjens

Dus als ik het goed begrijp neem je 1 en 1/3 even appart, en zie je vervolgens dat (1/3)+(1/4)>2(1/4), en zo blijf je herhalen, (1/5)+(1/6)+(1/7)+(1/8)>4(1/8) etc., zodat je gieruit vast kunt stellen dat er steeds méér dan (1/2) bijkomt, als je maar genoeg termen bij elkaar neemt?

Rogier

Je neemt de 1 apart, de 1/2, en dan 1/3+1/4, en dan 1/5 tot en met 1/8, en dan 1/9 tot en met 1/16, etc.

Dus steeds de (2^k+1)-e tot en met de 2^k+1-e term. Die sluiten allemaal netjes op elkaar aan, en er zijn natuurlijk oneindig veel van die stukken, en allemaal zijn ze

1/2. Dus zolang je maar genoeg termen neemt (en dat doe je, want het is een oneindige som) komt er ook oneindig vaak minstens 1/2 bij.

Je kunt het ook omkeren, voor ieder getal k[element]

geldt dat 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/N

k als N=2^2k.

Dus de som heeft geen bovengrens / divergeert / is oneindig.

Sjuul Jentjens

Ja, dan snap ik hem. Bedankt!

TD

Als je het integraalkenmerk voor positieve reeksen kent dan is de convergentie makkelijk te controleren.

De reeks convergeert als de oneingenlijke integraal INT(a -> inf) f(t) dt convergeert.

I.c. nemen we als functie f(t) = 1/t, dan vinden we:

INT(1 -> inf) dt/t = lim(x -> inf) lnx = inf => divergent.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Een reeks

Een reeks

Re: Een reeks

Re: Een reeks

Re: Een reeks

Re: Een reeks

Re: Een reeks

Re: Een reeks

Re: Een reeks

Re: Een reeks

Re: Een reeks

Re: Een reeks

Re: Een reeks

Re: Een reeks