Lineaire onafhankelijkheid van 2 onderling orthogonale vectoren
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 244
Lineaire onafhankelijkheid van 2 onderling orthogonale vectoren
Misschien is het antwoord op de volgende vraag wel heel triviaal, maar ik zie hem even niet. Gegeven is dat 2 vectoren loodrecht op elkaar staan (in de R^n). Ik moet bewijzen dat deze twee vectoren dan lineair onafhankelijk zijn.
Orthogonaliteit is dat het inproduct van bijvoorbeeld de 2 vectoren v en w gelijk is aan nul
Lineair onafhankelijkheid is gewoon dat je de een dan dus niet kan schrijven als een lineaire combinatie van de andere....Hoe relateer ik beide eigenschappen is de vraag.
Orthogonaliteit is dat het inproduct van bijvoorbeeld de 2 vectoren v en w gelijk is aan nul
Lineair onafhankelijkheid is gewoon dat je de een dan dus niet kan schrijven als een lineaire combinatie van de andere....Hoe relateer ik beide eigenschappen is de vraag.
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire onafhankelijkheid van 2 onderling orthogonale vectoren
Als v en w loodrecht op elkaar staan, geldt v.w = 0. Deze vectoren zijn dan lineair onafhankelijk, als ze verschillend zijn van de nulvector. Schrijf a*v+b*w = 0 en neem bijvoorbeeld het inproduct met v, dan:
a*v.v+b*v.w = 0 => a*v.v = 0 => a = 0
Want v.w = 0 (orthogonaal) en v.v 0 (niet-nulle vector). Analoog vind je b = 0.
a*v.v+b*v.w = 0 => a*v.v = 0 => a = 0
Want v.w = 0 (orthogonaal) en v.v 0 (niet-nulle vector). Analoog vind je b = 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire onafhankelijkheid van 2 onderling orthogonale vectoren
Graag gedaan. Zoals je ziet is dit eenvoudig uit te breiden naar n vectoren. Het is echter wel van belang dat je niet-nulle vectoren eist, want de nulvector "staat loodrecht" op elke vector (inproduct is steeds 0).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)