Van de lineaire transformatie
\(t \in \mathcal{L}(\Pi_0)\)
is de matrix gegeven ten opzichte van een basis van \(\mathbb{R}, \Pi_0,+\)
. Bepaal de eigenwaarden, de eigenvectoren en de eigenruimten van de lineaire transformatie \(t\)
.- \(T_e = \left[ \begin{array}{cc}5 & -1 \\1 & 5 \end{array} \right]\)
- \(T_e = \left[ \begin{array}{cc}3 & 2 \\8 & 10 \end{array} \right]\)
De karakteristieke vergelijking van de matrix
\(T_e\)
is de volgende:\(\left| \begin{array}{cc}5-\lambda & -1 \\1 & 5-\lambda \end{array} \right| = 0\)
\(\Leftrightarrow (5-\lambda)^2 + 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow \lambda^2 -10\lambda + 26 = 0\)
De discriminant is hier echter -4, dus deze vergelijking heeft geen reële oplossingen. Moet ik hieruit concluderen dat deze lineaire transformatie geen eigenwaarde(n), eigenvector(en) en eigenruimte(n) heeft?De tweede opgave oplossen ging redelijk goed, maar ik ben niet zeker van mijn uitkomst. In alle voorgaande oefeningen over eigenwaarden en eigenvectoren waren de oplossingen gehele getallen en dat is in deze opgave niet het geval. Hieronder mijn uitwerking, gelieve er even jullie licht over te laten schijnen.
Oplossing:
De karakteristieke vergelijking van de matrix
\(T_e\)
is de volgende:\(\left| \begin{array}{cc}3-\lambda & 2 \\8 & 10-\lambda \end{array} \right| = 0\)
\(\Leftrightarrow (3-\lambda)\cdot(10-\lambda) - 16 = 0\)
\(\Leftrightarrow \lambda^2 - 13\lambda + 14 = 0\)
De discriminant bedraagt 113:\(\lambda_1 = \frac{13-\sqrt{113}}{2} \approx 1,185\)
en \(\lambda_2 = \frac{13+\sqrt{113}}{2} \approx 11,815\)
Dit zijn dus de eigenwaarden. De eigenvectoren en eigenruimten bepalen we dan als volgt:- \(\lambda = 1,185\):
\(\left( \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\8 & 10 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}1,185 & 0 \\0 & 1,185 \end{array}\right] \right) \cdot \left[\begin{array}{c}x \\y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0 \\0 \end{array}\right]\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{cc}1,815x + 2y = 0 \\8x + 8,815y = 0 \end{array}\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{cc}1,815x + 2y = 0 \\1,815x + 2y = 0 \end{array}\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{cc}x + 1,102y = 0 \\x + 1,102y = 0 \end{array}\)We kiezen\(y = k\), dan volgt\(x = -1,102k\)De eigenvector\(E_0\)is dan\(\left[ \begin{array}{c}-1,102k \\k \end{array}\right]\)en de eigenruimte\(x + 1,102y = 0\). - \(\lambda = 11,815\):
\(\left( \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\8 & 10 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}11,815 & 0 \\0 & 11,815 \end{array}\right] \right) \cdot \left[\begin{array}{c}x \\y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0 \\0 \end{array}\right]\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{cc}-8,815x + 2y = 0 \\8x - 1,815y = 0 \end{array}\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{cc}8x - 1,815y = 0 \\8x - 1,815y = 0 \end{array}\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{cc}x - 0,227y = 0 \\x - 0,227y = 0 \end{array}\)We kiezen\(y = k\), dan volgt\(x = 0,227k\)De eigenvector\(E_0\)is dan\(\left[ \begin{array}{c}0,227k \\k \end{array}\right]\)en de eigenruimte\(x - 0,227y = 0\).
