Primitieven

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 136

Primitieven

ik ben neit de grootste ster in goniometrie en nu wordt dat ook weer gebruikt bij het laatste onderwerp integraalrekenen.

Nou hebben we een opdracht gekregen. Bereken algebraïsch het oppervlak van G als de funtie is: 2cos²x - sinx - 1

Mijn leraar heeft ons geleerd dat je moet terugrekenen als je denkt de primitieve te hebben. Zo ben ik dus te werk gegaan en dacht ik cos²x = 2cos2x - 1 en deze dan in een sinus omvormen. maar daar zit ik dus vast, of ik meot het eerste al fout hebben

alvast bedankt

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Primitieven

Je moet uiteindelijk de oppervlakte onder de grafiek van die functie bepalen?

Is er dan ook gegeven van waar tot waar, dus de grenzen van de integraal?

Voor de primitieve, je draait de formule net om denk ik... Er geldt:

cos(2x) = 2cos²(x)-1, waaruit: 2cos²(x) = 1+cos(2x)

Dus na vervanging hiervan is de functie waarvan je de primitieve zoekt:

cos(2x)-sin(x)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Re: Primitieven

de eerste vraag zijn de nulpunten berekenen maar dan schrijf ik voor -sin(x) -> cos(x) en vervang cos door y en ga het zo berekenen.

maar als ik 2cos²(x) - sin(x) - 1 heb moet ik toch de primitieve van cos(2x) - sin(x) - 1 vinden dat zou dan 1/2sin2(x) + cos(x) - x moeten zijn?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Primitieven

Je vertrek van de functie 2cos²x - sinx - 1 en zoekt de primitieve.

Om de primitieve te vinden, vervang je eerst 2cos²x door 1+cos(2x).

Je krijgt dan: cos(2x)-sin(x). Hiervan moet je de primitieve zoeken...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Re: Primitieven

en dat wordt wel ½sin(2x) + cos(x)
\(\int_a^b f(b)-f(a) dx \)
met voor de b het meest rechtse nulpunt van G en voor A het linkse nulpunt van G ?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Primitieven

De primitieve klopt, wel opletten met je haakjes: het is sin(2x), niet sin2(x).

Je notatie van de integraal klopt niet helemaal, als f de te integreren functie is en F de primitieve:
\(\int_a^b f(x) \, \mbox{d}x = F(b) - F(a)\)
Hierin is a de ondergrens (dus linkernulpunt) en b de bovengrens (rechternulpunt).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Re: Primitieven

De primitieve klopt, wel opletten met je haakjes: het is sin(2x), niet sin2(x).
ja die zag ik ook en heb ik nog net verbeterd voor ik je antwoord zag.
Je notatie van de integraal klopt niet helemaal, als f de te integreren functie is en F de primitieve:
\(\int_a^b f(x) \, \mbox{d}x = F(b) - F(a)\)
Hierin is a de ondergrens (dus linkernulpunt) en b de bovengrens (rechternulpunt).
ik bedoelde het zo, maar ik was even vergeten dat de dx er niet bij moet als je de nulpunten invult. ik meot daar op gaan letten, maar normaal schrijf ik alleen
\(\int_a^b f(x)\)
en ga daarna rekenen

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Primitieven

\(\int_a^b f(x)\)
heeft geen betekenis.
\(\int_a^b f(x)dx\)
wel. Die dx is erg belangrijk!

Zo is bijvoorbeeld
\(\int x^2 dx=\frac{1}{3}x^3\)
, maar
\(\int x^2 da=ax^2\)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Re: Primitieven

en zo miste ik weer wat =P als ik het op papier heb schrijf ik zoals het moet, dus met die f(x)dx

het ligt aan mijn onwennigheid op het forum

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Primitieven

Oké, zolang je maar wat juist is :D
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Re: Primitieven

nog een integraal met goniometrie

f(x) = 3sin²(x) - 2cos(x) en lijn y = 1¼

dan moet ik a) de snijpunten berekenen

b) de opervlakte algebraïsch berkenen

a) 3sin²(x) - 2cos(x) = 1¼ --------- sin²(x) = 1 - cos²(x) (?)

3 - 3cos²(x) -2cos(x) - 1¼ = 0 ---- cos(x) = y

-3y² - 2y + 1¾

ABC-formule en dan kom ik op
\(y = cos(x) = ½ \ \bigvee \ y = cos(x) = -\frac{28}{24} < -1 \)
dus die doet niet mee
\(cos(x) = ½ \)
\(cos(x) = cos \frac{1}{3}\pi \)

\(x = \frac{1}{3}\pi +k2\pi \ \bigvee \ x = \frac{2}{3}\pi +k2\pi \)
en dan moet ik de oppervlak gaan berkenen. Moet ik dan f(x) - g(x) (=y) doen en dan de integraal van
\( \frac{1}{3}\pi \ tot \ \frac{2}{3}\pi \)
?

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Re: Primitieven

kan iemand mij eens een soort integraal oefeneing geven zodat ik weet of ik het snap ja of nee? want die opgaven staan ook uitgewerkt in mijn map die ik hierboven heb gegeven.

het mogen integralen met e en ln(x) zijn of gewoon breuken en wortels. maakt niet uit, zolang ik maar kan oefenen.

alvast bedankt

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Primitieven

Bepaal de oppervlakte tussen de krommen:
\(y=1+x-x^2\)
en
\(y=\frac{1}{x+1} \)
in het 1e kwadrant.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Primitieven

\( \frac{1}{3}\pi \ tot \ \frac{2}{3}\pi \)
?
De oplossing pi/3 klopt, maar 2pi/3 niet. Uit cos(x) = 1/2 volgt nog x = 5pi/3 (+veelvouden).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Re: Primitieven

het is toch antwoord a en b is dan
\( \pi \)
- a ?

Reageer