Moderators: dirkwb , Xilvo
Berichten: 96
Ik heb volgende stelling met bewijs :
\( Stel (X,d) een\ metrische\ ruimte,\ x \in X\ en\ (x_{n})_{n}\ en\ (y_{n})_{n}\ twee\ equivalente\ rijen\ in\ X.\ Dan\ geldt : x_{n} \rightarrow x \Longleftrightarrow y_{n} \rightarrow x. \)
Bewijs :
\(Stel\ x_{n} \rightarrow x;\ en\ stel \epsilon >0.\ \exists n_{0} : \forall n \geq n_{0} : d(x,x_{n}) \leq \frac{\epsilon}{2}.\ Ook \ \exists n_{1} : \forall n \geq n_{1} : d(x_{n},y_{n}) \leq \frac{\epsilon}{2}\)
Vanwaar komt deze laatste stap ?
Bericht
vr 06 jun 2008, 18:03 06-06-'08, 18:03
TD
Berichten: 24.578
Wat is de gehanteerde definitie van equivalente rijen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 7.068
Wat is de gehanteerde definitie van equivalente rijen?
Ik neem aan:
\( \forall (\varepsilon >0) \exists n_{0} \forall n\geq n_{0}: d(x_{n},y_{n})<\varepsilon \)
Bericht
vr 06 jun 2008, 20:24 06-06-'08, 20:24
TD
Berichten: 24.578
Bij jou ook zo gedefinieerd, LiesbethDN? Dan volgt die laatste stap rechtstreeks uit de definitie, waarin e/2 gekozen wordt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 96
De definitie die wij hanteren is volgende :
\(d(x_{n},y_{n}) \rightarrow 0\)
Maar dit komt natuurlijk op hetzelfde neer.
Bedankt !
Bericht
vr 06 jun 2008, 23:06 06-06-'08, 23:06
TD
Berichten: 24.578
Graag gedaan. Door n
max{n0,n1} te nemen kan je nu beide afschattingen gebruiken om te tonen dat ook y(n) naar x convergeert.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 96
Dat is ook wat verder in het bewijs gebeurde.
Ik begreep gewoon totaal niet waar die ene stap vandaan kwam. Misschien moet ik eerst even leren verder kijken dan mijn neus lang is vooraleer ik begin te panikeren
Bericht
za 07 jun 2008, 09:52 07-06-'08, 09:52
TD
Berichten: 24.578
Ik begreep gewoon totaal niet waar die ene stap vandaan kwam. Misschien moet ik eerst even leren verder kijken dan mijn neus lang is vooraleer ik begin te panikeren
Dat is sowieso een beter idee dan panikeren
Dit werkt niet 'soms', maar heel vaak: keer terug naar je definities...!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
max{n0,n1} te nemen kan je nu beide afschattingen gebruiken om te tonen dat ook y(n) naar x convergeert.
