[wiskunde] formule van de moivre

Miker

Hallo, ik had een vraagje over de formule van de Moivre.

Ik weet dat de formule als volgt gaat:

(cosa+isina)^n = (cos(na)+isin(na))

Dan als ik 2 invul bij n, vind ik de uitkomst.

Maar als ik 3 invul bij n, snap ik de laatste stap niet.

Dit is de laatste stap (of een van de laatste):

cos³a+(3cos²a.isina)-(3cosa.sin²)+isin³a = cos(3a)+isin(3a)

Van daar moet ik tot dit komen:

cos(3a) = 4cos³a-3cosa

sin(3a) = 3sina-4sin³a

Hoe gaat het dan in zijn werk?

Enige hulp zou zeer gewaardeerd worden.

dirkwb

Als je twee complexe getallen aan elkaar gelijk zijn dan zijn de reële gedeeltes gelijk en de imaginaire gedeeltes gelijk aan elkaar.

Miker

Als je twee complexe getallen aan elkaar gelijk zijn dan zijn de reële gedeeltes gelijk en de imaginaire gedeeltes gelijk aan elkaar.

Ja dat weet ik.

Maar ik vind het niet hier.

dirkwb

Maak gebruik van

\( \sin^2 ( \theta) +\cos^2 ( \theta) =1 \)

Miker

Maak gebruik van
\( \sin^2 ( \theta) +\cos^2 ( \theta) =1 \)

Hmm, nee ik zie het totaal niet

dirkwb

\( \left( \cos(a) + i \sin(a) \right) ^3 = \cos^3(a) + 2i \sin(a) \cos^2(a) - \sin^2(a) \cos(a) + i \sin(a) \cos^2(a) - 2 \sin^2(a) \cos(a) -i \sin^3(a) \)

De reële componenten geven:

\( \cos^3 (a) -2 \sin^2(a) \cos(a) - \sin^2(a) \cos(a) \)

(*)

De tweede term in (*) is:

\( -2 \cos(a) + 2 \cos^3(a) \)

De derde term in (*) is:

\( - \cos(a) + \cos^3(a) \)

Totaal optellen:

\( 4 \cos^3(a) - 3 \cos(a) = \cos(3a) \)

Miker

\( \left( \cos(a) + i \sin(a) \right) ^3 = \cos^3(a) + 2i \sin(a) \cos^2(a) - \sin^2(a) \cos(a) + i \sin(a) \cos^2(a) - 2 \sin^2(a) \cos(a) -i \sin^3(a) \)

Dit snap ik niet

Het is toch (A+B)³=(A³+3a²B+3AB²+B³)

of zit ge al een stap verder, want ik zie het niet echt.

Koendg

Welke formule gebruik je precies om van stap 1 naar stap 2 te gaan?

(a+bi)³ = ?

Bedankt!

dirkwb

Miker schreef:Dit snap ik niet

Het is toch (A+B)³=(A³+3a²B+3AB²+B³)

of zit ge al een stap verder, want ik zie het niet echt.

Welke uitdrukking heb ik uitgewerkt? Wat geldt er voor i² bij complexe getallen?

Koendg schreef:Welke formule gebruik je precies om van stap 1 naar stap 2 te gaan?

(a+bi)³ = ?

Bedankt!

Heb je het tegen mij of Miker?

Miker

dirkwb schreef:Welke uitdrukking heb ik uitgewerkt? Wat geldt er voor i² bij complexe getallen?

Heb je het tegen mij of Miker?

Welja da wist ik wel, maar dat dat tussen cos³a en -isin³a ligt begreep ik niet.

En koen heeft het tegen u, hij volgt deze thread ook stiekem

Koendg

Ik had het tegen Dirk, ik weet dat i² = -1 ... en i³ = -i, maar ik snap echt niet hoe je die (a+b)³ uitwerkt...

dirkwb

Kijk ik werk uit

\( (a +bi)^3 \)

met de (complexe) i dus!

Even stap voor stap:

\( (a+bi)(a+bi) = a^2 + 2abi - b^2 \)

Volgen we het nog?

Nu nog een keer (eerst a vermenigvuldigen en dan de bi):

\( (a+bi)(a^2 + 2abi - b^2 ) = (a^3 +2 i a^2b-a b^2) + (i a^2 b + 2ab^2 i - b^3 i) \)

Vergelijk bovenstaande met dit:

\( \left( \cos(a) + i \sin(a) \right) ^3 = \left( \cos^3(a) + 2i \sin(a) \cos^2(a) - \sin^2(a) \cos(a) \right) + \left( i \sin(a) \cos^2(a) - 2 \sin^2(a) \cos(a) -i \sin^3(a) \right)\)

Miker

dirkwb schreef:Kijk ik werk uit
\( (a +bi)^3 \)
met de (complexe) i dus!

Even stap voor stap:

\( (a+bi)(a+bi) = a^2 + 2abi - b^2 \)
Volgen we het nog?

Nu nog een keer (eerst a vermenigvuldigen en dan de bi):

\( (a+bi)(a^2 + 2abi - b^2 ) = (a^3 +2 i a^2b-a b^2) + (i a^2 b + 2ab^2 i - b^3 i) \)
Vergelijk bovenstaande met dit:

\( \left( \cos(a) + i \sin(a) \right) ^3 = \left( \cos^3(a) + 2i \sin(a) \cos^2(a) - \sin^2(a) \cos(a) \right) + \left( i \sin(a) \cos^2(a) - 2 \sin^2(a) \cos(a) -i \sin^3(a) \right)\)

Hartelijk bedankt!

Het examen is met succes afgelegd

dirkwb

Prima, succes verder!

Koendg

Ook bedankt, spijtig genoeg de laatste keer examen Wiskunde, ik zal het missen

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] formule van de moivre

[wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre

Re: [wiskunde] formule van de moivre