\(\sum_{0}^{\infty}\frac{k^2}{2^k}=6\)
Kan iemand me daar naartoe helpen;of zoniet me een hint geven hoe dit te bewijzen?
Bedankt!
Laatste berichten
-
21:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 10
-
19:47
vB 9
-
18:56
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 2
-
15:02
Interpretatie reactie-energie 2
-
15 apr
Vreemde stank in huis 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Rotatie van het heelal 22
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
-
05 apr
Ongepaste reclame 179
-
04 apr
Gegevens wissen mobiel 6
-
04 apr
Geiger Muller telbuis 2
-
03 apr
Schroefdraad berekening 3
-
03 apr
Relatieve luchtvochtigheid 26
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Oneindige som
-
- Berichten: 581
Oneindige som
Ik herinner me een topic die hier maanden geleden voorbij kwam
of zoniet me een hint geven hoe dit te bewijzen?
Bedankt!
of zoniet me een hint geven hoe dit te bewijzen?
Bedankt!
---WAF!---
-
- Berichten: 5.679
Re: Oneindige som
Ken je deze som?
\(S_k = \sum_{k}^{\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+2}}+\cdots\)
Nu schrijven we jouw som een beetje anders:\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^2}{2^k} = \frac{1}{2^1}+\frac{4}{2^2}+\frac{9}{2^3}+\frac{16}{2^4}+\frac{25}{2^5}+\cdots\)
\(\begin{array}{r} =\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots \\\\ + \frac{3}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{3}{2^4}+\frac{3}{2^5}+\cdots \\\\ + \frac{5}{2^3}+\frac{5}{2^4}+\frac{5}{2^5}+\cdots \\\\ + \frac{7}{2^4}+\frac{7}{2^5}+\cdots \\\ddots \ \ \end{array}\)
\(= 1 \cdot S_1 + 3 \cdot S_2 + 5 \cdot S_3 + 7 \cdot S_4 + \cdots\)
Helpt je dit op weg?In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 581
Re: Oneindige som
Dag Rogier,
Ik kende die som
dan krijg ik
wat inderdaad gelijk is aan 2 ( 4-1 ) = 6.
Ik weet dat
gelijk is aan 4 ?
Of zie ik iets over het hoofd en kan het veel eenvoudiger?
Ik kende die som
\(S_k = \sum_{k}^{\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+2}}+\cdots \)
niet echt, maar ik begrijp wat je bedoelt. Dus aangezien:\(S_0 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} = 2 \)
is \(S_k = S_0 / 2^k\)
Als ik dat vervolgens invul in jouw formule\( \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^2}{2^k} = 1 \cdot S_1 + 3 \cdot S_2 + 5 \cdot S_3 + 7 \cdot S_4 + \cdots \)
dan krijg ik
\( 2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k-1}{2^k} \)
wat gelijk is aan\( = 2 \left\{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^k} - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k} \right\} \)
wat inderdaad gelijk is aan 2 ( 4-1 ) = 6.
Ik weet dat
\( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k} = 1 \)
Maar hoe kan ik bewijzen dat \( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^k} \)
gelijk is aan 4 ?
Of zie ik iets over het hoofd en kan het veel eenvoudiger?
---WAF!---
-
- Berichten: 5.679
Re: Oneindige som
Mooi, je bent er bijna.
Zelfde truukje als wat ik in het begin deed: (voor de duidelijkheid vervang ik 2k even door k, die factor 2 kan er gewoon voor)Westy schreef:Maar hoe kan ik bewijzen dat
\( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^k} \)
gelijk is aan 4 ?
\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^k} = \frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\cdots\)
\(\begin{array}{r} =\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots \\\\ + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots \\\\ + \frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots \\\\ + \frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\cdots \\\ddots \ \ \end{array}\)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 581
Re: Oneindige som
Maar natuurlijk!
Ik voelde in feite ook al een beetje aan dat het hier om hetzelfde truukje ging, maar ik dacht dat ik in kringetjes aan het draaien was. Maar nu ben ik eruit:
maal de factor 2 die er nog gewoon voor moest
Dankuzeer.
Ik voelde in feite ook al een beetje aan dat het hier om hetzelfde truukje ging, maar ik dacht dat ik in kringetjes aan het draaien was. Maar nu ben ik eruit:
\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^k} = S_1+S_2+S_3+\cdots=\frac{S_0}{2^1}+\frac{S_0}{2^2}+\frac{S_0}{2^3}+\cdots=S_0\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k} = 2 . 1 = 2 \)
maal de factor 2 die er nog gewoon voor moest
Dankuzeer.
---WAF!---
