Dag Rogier,
Ik kende die som
\(S_k = \sum_{k}^{\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+2}}+\cdots \)
niet echt, maar ik begrijp wat je bedoelt. Dus aangezien:
\(S_0 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} = 2 \)
is
\(S_k = S_0 / 2^k\)
Als ik dat vervolgens invul in jouw formule
\( \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^2}{2^k} = 1 \cdot S_1 + 3 \cdot S_2 + 5 \cdot S_3 + 7 \cdot S_4 + \cdots \)
dan krijg ik
\( 2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k-1}{2^k} \)
wat gelijk is aan
\( = 2 \left\{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^k} - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k} \right\} \)
wat inderdaad gelijk is aan 2 ( 4-1 ) = 6.
Ik weet dat
\( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k} = 1 \)
Maar hoe kan ik bewijzen dat
\( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^k} \)
gelijk is aan 4 ?
Of zie ik iets over het hoofd en kan het veel eenvoudiger?