Springen naar inhoud

De schoonheid van wiskunde


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 juni 2008 - 18:09

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry. (Russell)


Post hier wat jij mooie/elegante wiskundige (calculus, algebra, etc.) bewijzen vindt (en waarom je dat bewijs zo mooi vindt).

Ik ben zelf wel gecharmeerd van simpele bewijzen in de Eucledische meetkunde, ik zal even een mooie opzoeken.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4192 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 juni 2008 - 18:44

Ik ben zelf wel gecharmeerd van simpele bewijzen in de Eucledische meetkunde, ik zal even een mooie opzoeken.

Laat maar zien!
Verborgen inhoud

Ik ben ook benieuwd wat TD van dit topic vindt.
Quitters never win and winners never quit.

#3

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 juni 2008 - 19:05

Is het niet prachtig dat LaTeX


Verborgen inhoud
En voor zei die het liever in 1 notatie zien... LaTeX



Denis


Edit:
Of letterlijk, de formule die gestemd is tot de mooiste formule ooit:

LaTeX

Veranderd door HosteDenis, 27 juni 2008 - 19:05

"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#4

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 28 juni 2008 - 04:54

Een zeer fraaie verschijning in een willekeurige driehoek is de rechte van Euler. :D
Alle parabolen zijn gelijkvormig! Alle cirkels zijn gelijkvormig.
De stelling van Pythagoras vind ik ook een juweel.
En wat dacht je van de formule van Heron? Oppervlak van een driehoek = V{s(s – a)(s – b)(s – c)} waarin s = (a + b + c)/2

Veranderd door thermo1945, 28 juni 2008 - 05:06


#5

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juni 2008 - 11:18

Zoiets vind ik persoonlijk bijvoorbeeld heel mooi:

Geplaatste afbeelding
Driehoek ABC is een gelijkbenige rechthoekige driehoek.
Deze driehoek beschouwen we afzonderlijk, maar we plakken er nog eenzelfde (gelijkvormige) in het punt A aan vast.
We bekijken dus de twee gelijkbenige rechthoekige driehoeken ABC en ADE.
Het zijn dus twee verschillende geodriehoeken die het rechtehoekpunt gemeenschappelijk hebben.

Stelling:
Voor elk tweetal gelijkbenige in A rechthoekige driehoeken ABC en ADE geldt
BD = CE en BD _|_ CE.


Bewijs:
Geplaatste afbeelding

1)
AB=AC (gelijkbenig)
AE=AD (gelijkbenig)
<CAE=<CAD+<DAE
<BAD=<CAD+<BAC
<DAE=rechte hoek=<BAC
<CAE=<BAD
Driehoeken ACE en ADB zijn congruent (ZHZ).
Dus CE = BD.
Ook volgt hieruit:
<ECA = <PBA
2)In driehoek APB is <PBA + <APB = 90°, zodat in driehoek PCQ geldt (gelijk op bovenstaande gelijkheid van hoeken):
<ECA + <CPQ = 90°
Dus in die driehoek is <Q = 90°.
De lijnstukken BD en CE staan dus loodrecht op elkaar
Q.E.D.
plaatjes van http://www.pandd.dem.../vanaubel.htm#1

Natuurlijk zitten in dit bewijs weer andere stellingen verstopt zoals congruentie bij ZHZ, maar dat zijn ook stuk voor stuk elegante stukjes wiskunde.

#6

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juni 2008 - 11:36

Alle parabolen zijn gelijkvormig!

Bewijs: pagina 3, 4
http://mzone.mweb.co...fmd/simpara.pdf

#7

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juni 2008 - 11:53

Ik kan m'n vorige bericht niet editen, ik wil Denis vragen om een bewijs voor:
LaTeX

#8

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 369 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juni 2008 - 11:56

Ik denk dat de schoonheid van wiskunde meer zit in de beweringen dan in hun bewijzen. Je kan een hele mooie bewering heel lelijk bewijzen. Een mooi voorbeeld vind ik de bewering dat de som van de eerste n derdemachten gelijk is aan het kwadraat van de som van de erste n getallen:
LaTeX
Je kan dat heel lelijk bewijzen door ervan uit te gaan dat er polynomen in n bestaan voor beide kanten en dan met inductie te laten zien dat die hetzelfde zijn (o.i.d.), maar ik heb ook een keer dit bewijs gevonden wat ik dan weer juist een erg mooi bewijs vind, voor dezelfde bewering.

Als ik moest zeggen wat ik mooie beweringen vind, dan ga ik binnen de meetkunde voor de stelling van Pappus/Pappos, die ik mooi vind omdat je zo veel dingen willekeurig mag kiezen. De cosinusregel vind ik ook wel een mooie (mede omdat Pythagoras er uit volgt).

#9

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juni 2008 - 13:17

Ja inderdaad, het zijn inderdaad vaak de stellingen die schoonheid bevatten.
Om nog even terug te komen op HosteDenis:
LaTeX
Moet dit niet eigenlijk zijn:
LaTeX

#10

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juni 2008 - 13:43

Dit is een mooi bewijsje toch:

Stelling:
De harmonische reeks LaTeX of wel LaTeX is divergent.

Bewijs:
Verdeel vanaf 1/2 de termen in groepjes van steeds dubbele grootte:
1/1,
+1/2,
+1/3 + 1/4,
+1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8,
..etc.
Deze groepjes zijn steeds groter of gelijk dan 1/2.
1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 (= 1/2)
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 (=1/2)
Er zijn oneindig veel van dit soort groepjes, de totale som is dus oneindig.

#11

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juni 2008 - 14:22

Ja inderdaad, het zijn inderdaad vaak de stellingen die schoonheid bevatten.
Om nog even terug te komen op HosteDenis:
LaTeX


Moet dit niet eigenlijk zijn:
LaTeX



Ik heb het zo eens zien staan en dacht toen bij mezelf, "hé, dat is best leuk", vandaar dat ik het hier poste. Ik rekende het nog niet na, dus het zou kunnen dat het niet klopt. Eens zien, makkelijk is de integraal zeker niet.

LaTeX en daar kan de Wolfram Integrator niets mee. Als iemand zin heeft deze oefening eens aan te nemen, ga je gang...


Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#12

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juni 2008 - 14:45

Bernoulli:
LaTeX
en dan al die termen los integreren.


http://books.google....j...1&ct=result

#13

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 28 juni 2008 - 23:25

Ik denk dat de schoonheid van wiskunde meer zit in de beweringen dan in hun bewijzen.

Vaak wel.

LaTeX

Het aangehaalde bewijs is inderdaad een prachtige vondst.

#14

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9945 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 03 juli 2008 - 19:20

Zoiets vind ik persoonlijk bijvoorbeeld heel mooi:

Geplaatste afbeelding
Driehoek ABC is een gelijkbenige rechthoekige driehoek.
Deze driehoek beschouwen we afzonderlijk, maar we plakken er nog eenzelfde (gelijkvormige) in het punt A aan vast.
We bekijken dus de twee gelijkbenige rechthoekige driehoeken ABC en ADE.
Het zijn dus twee verschillende geodriehoeken die het rechtehoekpunt gemeenschappelijk hebben.

Stelling:
Voor elk tweetal gelijkbenige in A rechthoekige driehoeken ABC en ADE geldt
BD = CE en BD _|_ CE.

Bekijk eens dit bewijs:
Beschouw de rotatie (tegenwijzerrichting) over 90 graden om punt A.
B -> C en D -> E , dus BD -> CE en omdat rotatie een congruentie-transformatie is volgt:
BD=CE en BD_|_CE.

#15

Johan2

    Johan2


  • >1k berichten
  • 1780 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 04 juli 2008 - 12:24

De Gulden Snede.
Ik geloof dat de gelinkte site erg klef is, maar ik kon zo snel geen andere kunstplaatjes vinden.
Voor de leukste uitleg van de GS en haar toepassingen en voorkomen: Donald Duck in Mathemagic land
<i>Si vis pacem paralellum</i> (J. Goedbloed)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures