Springen naar inhoud

Deels of alles


  • Log in om te kunnen reageren

#1

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 28 juni 2008 - 18:17

Stambreuken
Als je twee stambreuken optelt, krijg je in het algemeen geen stambreuk terug. Nu is 1/{m(n+m)} + 1/{n(n+m)} = 1/{mn}. Als m en n als positieve gehele getallen gekozen worden, dan krijg je de som van twee stambreuken en dat levert weer een stambreuk.

Pythagorasdriehoeken
Als a = 2kmn, b = k(2m2-2n2) en c = k(m2 + n2) zijn, dan is a2 + b2 = c2. Hierbij zijn alle variabelen positieve gehele getallen.
Hebben we zo alle pythagorasdriehoeken te pakken?

Herondriehoeken
In een heronische driehoek zijn alle zijden en hoogtelijnen een geheel aantal malen een lengte-eenheid. Bovendien is de oppervlakte een geheel aantal malen de bijbehorende oppervlakte-eenheid. Brahmagupta (598-668) vond het volgende ‘recept’:
a = u(v²+w²) b = v(u²+w²)
c = (u+v)(uv-w²) Opp = uvw(u+v)(uv-w²)

Zie eventueel http://nl.wikipedia..../Heron_driehoek

De vraag
Hoe kun je (in het algemeen) onderzoeken, of zo alle denkbare gevallen gevonden worden met de genoemde formules?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6737 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 juni 2008 - 19:36

Pythagorasdriehoeken
Als a = 2kmn, b = k(2m2-2n2) en c = k(m2 + n2) zijn, dan is a2 + b2 = c2. Hierbij zijn alle variabelen positieve gehele getallen.
Hebben we zo alle pythagorasdriehoeken te pakken?

3-4-5... bekijk dat geval eens...

#3

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 28 juni 2008 - 22:58

3-4-5... bekijk dat geval eens...

k,m=2 en n=1 maar dat is niet wat ik vroeg.

Veranderd door thermo1945, 28 juni 2008 - 22:58


#4

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 juni 2008 - 00:03

De vraag
Hoe kun je (in het algemeen) onderzoeken, of zo alle denkbare gevallen gevonden worden met de genoemde formules?


Die formules zijn afkomstig uit een bewijs (misschien een visueel?). Zolang een bewijs niet specifieert, hoort het geldig te zijn voor alle gevallen.

Stom voorbeeld:

Stelling: De som van de kwadraten van twee zijden van een driehoek zijn gelijk aan het kwadraat van de derde.

Bewijs:

  • Stel, de driehoek is stomphoekig. Dit kan niet bewezen worden, meer nog, er kan bewezen worden dat dit niet zo is.
  • Stel, de driehoek is scherphoekig. Dit kan niet bewezen worden, meer nog, er kan bewezen worden dat dit niet zo is.
  • Stel, de driehoek is rechthoekig.
  • De twee zijden van het ene lid zijn de rechthoekszijden, en de zijde van het andere lid de schuine zijde. Deze stelling kan bewezen worden.
  • De twee zijden van het ene lid bestaan uit een rechthoekszijde en een schuine zijde. Er kan bewezen worden dat de stelling in dit geval niet opgaat.


En door zo gedurende het bewijs te specifiëren voor welke gevallen we het bewijs trachten te bewijzen, bewijzen we de stelling voor ALLE denkbare gevallen, die aan de specificaties voldoen.

Bij een soortgelijk bewijs, dat van de cosinusregel, moet men dan ook helemaal niet specifiëren om welke soort driehoek het gaat, aangezien ze opgaat voor alle driehoeken. Bijgevolg zijn alle denkbare gevallen = alle driehoeken. Bij de hierboven genoteerde stelling van pythagoras zijn alle denkbare gevallen = rechthoekige driehoeken en natuurlijk ook a en b de rechthoekszijden zodat a^2 + b^2 = c^2 met c de schuine zijde.

Ik hoop dat dit helpt.


Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#5

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6737 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 juni 2008 - 08:28

k,m=2 en n=1

Ben erg benieuwd hoe je denkt dat dat een a,b en c oplevert overeenkomt met een driehoek met zijde 3,4 en 5...

maar dat is niet wat ik vroeg.

Je vroeg 'Hebben we zo alle pythagorasdriehoeken te pakken?' Ik geef een tegenvoorbeeld.

#6

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 29 juni 2008 - 10:30

Bij de hierboven genoteerde stelling van pythagoras zijn alle denkbare gevallen = rechthoekige driehoeken en natuurlijk ook a en b de rechthoekszijden zodat a^2 + b^2 = c^2 met c de schuine zijde. Ik hoop dat dit helpt.

Helaas niet. Krijg ik namelijk met alle denkbare combinaties van k, m en n alle mogelijke pythagorasdriehoeken of slechts een deelverzameling?
Dat blijkt nog niet, dacht ik.

Als a = 2kmn, b = k(m2-n2) en c = k(m2 + n2) zijn, dan is a2 + b2 = c2. Hierbij zijn alle variabelen positieve gehele getallen.
Hebben we zo alle pythagorasdriehoeken te pakken?

Ben erg benieuwd hoe je denkt dat dat een a, b en c oplevert overeenkomt met een driehoek met zijde 3, 4 en 5

Met k=1, m=2 en n=1 krijg je de o zo bekende 3-4-5-driehoek.

Ik geef een tegenvoorbeeld.

Ik ben benieuwd.

Veranderd door thermo1945, 29 juni 2008 - 10:33


#7

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 29 juni 2008 - 10:36

Pythagorasdriehoeken
Als a = 2kmn, b = k(2m2-2n2) en c = k(m2 + n2) zijn, dan is a2 + b2 = c2.

Helaas is hier een fout ingeslopen: b moet k(m2-n2) zijn. Sorry voor het ongemak, tijd en energie.

Veranderd door thermo1945, 29 juni 2008 - 10:40






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures