Bovengrens m^n

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 11-07-'08, 16:13

dirkwb

Berichten: 4.246

Bovengrens m^n

Ik zit met het volgende probleem:

"If m and n are two postive integers, prove that one of m^(1/n) or n^(1/m) is always less than or equal to 3^(1/3)"

Moet dit via inductie?
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 11-07-'08, 18:04

jhnbk

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Bovengrens m^n

Het lijkt mij mogelijk met inductie. Ik zal het straks even uitproberen.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Omhoog

Bericht 12-07-'08, 10:31

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bovengrens m^n

Bekijk ook eens de functie x^(1/x) voor x>0, deze is diffbaar.
Omhoog

Bericht 17-07-'08, 12:46

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Bovengrens m^n

Het maximum is bij:
\( \ln(x) =x^2 \)
ik zie niet in hoe ik hiermee verder kan.
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 17-07-'08, 13:21

PeterPan

Re: Bovengrens m^n

Stel
\(\sqrt[n]m \ge \sqrt[3]3\)
en
\(\sqrt[m]n \ge \sqrt[3]3\)
Dan is
\(m^3 \ge 3^n\)
en
\(n^3 \ge 3^m\)
.

Dan is
\((mn)^3 \ge 3^{m+n}\)
en
\((mn)^{\frac32} \ge 3^{\frac{m+n}{2}} \ge 3^{\sqrt{mn}}\)
.

Logaritmen nemen geeft, met
\(mn = x > 1\)
\(\frac32 \ln(x) \ge \sqrt{x} \ln(3)\)
De functie
\(f\)
met functievoorschrift
\(f(x) = \frac32 \ln(x) - \sqrt{x} \ln(3)\)
is slechts positief voor
\(x>1\)
als
\(x = 7, 8\)
(en 0 voor
\(x=9\)
, hetgeen de oplossing
\(m=n=3\)
geeft).

De rest is een peuleschil.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”