Fourierbeeld van een functie
-
- Berichten: 355
Fourierbeeld van een functie
Hallo,
Zou iemand mij eens kunnen zeggen waarom het fourierbeeld van exp(-|t|) gelijk is aan 2/1+ ω²
Ik heb de uitwerking maar die mist veel tussenstappen. Zou iemand ze volledig kunnen uitschrijven?
mvg
Zou iemand mij eens kunnen zeggen waarom het fourierbeeld van exp(-|t|) gelijk is aan 2/1+ ω²
Ik heb de uitwerking maar die mist veel tussenstappen. Zou iemand ze volledig kunnen uitschrijven?
mvg
- Berichten: 24.578
Re: Fourierbeeld van een functie
Ik heb nog een (wortel uit) pi, dus waarschijnlijk verschillen onze definities.
Geef die van jou eens en probeer alvast de getransformeerde daarmee te vinden - waar loop je vast?
Geef die van jou eens en probeer alvast de getransformeerde daarmee te vinden - waar loop je vast?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: Fourierbeeld van een functie
Mja, het fourierbeeld als die mij gegeven is bv stel je hebt zoals in dit geval f(t)=exp(-|t|)
fourierbeeld f(w) = int(exp(-|t|*exp(-iwt),t=- .. )
Is dit dezelfde definitie als die van jou?Zo ja, zou je de uitwerking eens volledig kunnen uitschrijven, want ik ben nog in de beginfase van heel deze fouriergedoe. Ik snap niet goed hoe zo'n fourierbeeld wordt berekend en van welke rekenregels er gebruik wordt gemaakt. Als je me hiermee zou kunnen helpen zou super zijn. (Ik heb tweede zit voor dit vak )
fourierbeeld f(w) = int(exp(-|t|*exp(-iwt),t=- .. )
Is dit dezelfde definitie als die van jou?Zo ja, zou je de uitwerking eens volledig kunnen uitschrijven, want ik ben nog in de beginfase van heel deze fouriergedoe. Ik snap niet goed hoe zo'n fourierbeeld wordt berekend en van welke rekenregels er gebruik wordt gemaakt. Als je me hiermee zou kunnen helpen zou super zijn. (Ik heb tweede zit voor dit vak )
- Berichten: 24.578
Re: Fourierbeeld van een functie
Laat jouw uitwerking eens zien en geef dan zorgvuldig aan welke stappen je niet begrijpt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: Fourierbeeld van een functie
Ok dus, we hebben
int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=-oneindig .. oneindig)
opsplitsen
= int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=-oneindig .. 0) + int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=0 .. +oneindig)
nu gaat er geprobeerd worden om deze integralen samen te voegen (grenzen aanpassen van 1 van de 2 integralen neem bv in dit geval de eerste integraal)
substitutie t = -u
= int(exp(-|-u|)*exp(iwu),u=0 .. +oneindig) + int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=0 .. +oneindig)
u terug t noemen
= int(exp(-|-t|)*exp(iwt),t=0 .. +oneindig) + int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=0 .. +oneindig)
samenvoegen van integralen
= int(exp(-|t|)*exp(iwt)+exp(-|t|)*exp(-iwt),t=0 .. +oneindig)
= int(exp(-t)*(exp(iwt)+exp(-iwt)),t=0 .. +oneindig)
en dan punt P nemen en de limiet van P-> +oneindig
int(exp(-t)*(exp(iwt)*exp(-iwt)),t=0 .. P) en dit zou (volgens mijn cursus) gelijk moeten zijn aan
exp(-1-w)*P/(-1-w) + exp(-1+i*w)*P/(-1+i*w) + 1/1+i*w +1/1-i*w
daar de limiet van nemen voor P-> +oneindig zou 2/1+w² geven.
Nuja , maple geeft dit als je het ingeeft, dus het klopt. Ik vraag mij gewoon af hoe hij die laatste integraal berekent :
int(exp(-t)*(exp(iwt)*exp(-iwt)),t=0 .. P) = exp(-1-w)*P/(-1-w) + exp(-1+i*w)*P/(-1+i*w) + 1/1+i*w +1/1-i*w
int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=-oneindig .. oneindig)
opsplitsen
= int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=-oneindig .. 0) + int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=0 .. +oneindig)
nu gaat er geprobeerd worden om deze integralen samen te voegen (grenzen aanpassen van 1 van de 2 integralen neem bv in dit geval de eerste integraal)
substitutie t = -u
= int(exp(-|-u|)*exp(iwu),u=0 .. +oneindig) + int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=0 .. +oneindig)
u terug t noemen
= int(exp(-|-t|)*exp(iwt),t=0 .. +oneindig) + int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=0 .. +oneindig)
samenvoegen van integralen
= int(exp(-|t|)*exp(iwt)+exp(-|t|)*exp(-iwt),t=0 .. +oneindig)
= int(exp(-t)*(exp(iwt)+exp(-iwt)),t=0 .. +oneindig)
en dan punt P nemen en de limiet van P-> +oneindig
int(exp(-t)*(exp(iwt)*exp(-iwt)),t=0 .. P) en dit zou (volgens mijn cursus) gelijk moeten zijn aan
exp(-1-w)*P/(-1-w) + exp(-1+i*w)*P/(-1+i*w) + 1/1+i*w +1/1-i*w
daar de limiet van nemen voor P-> +oneindig zou 2/1+w² geven.
Nuja , maple geeft dit als je het ingeeft, dus het klopt. Ik vraag mij gewoon af hoe hij die laatste integraal berekent :
int(exp(-t)*(exp(iwt)*exp(-iwt)),t=0 .. P) = exp(-1-w)*P/(-1-w) + exp(-1+i*w)*P/(-1+i*w) + 1/1+i*w +1/1-i*w
- Berichten: 24.578
Re: Fourierbeeld van een functie
Heb je binnen haakjes de optelling per ongeluk veranderd naar een vermenigvuldiging?
Er stond eerst +, werk dan de haakjes uit en neem in beide termen samen tot één exponent.
Er stond eerst +, werk dan de haakjes uit en neem in beide termen samen tot één exponent.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: Fourierbeeld van een functie
Inderdaar dat was een foutje van mijScofield schreef:Ok dus, we hebben
int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=-oneindig .. oneindig)
opsplitsen
= int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=-oneindig .. 0) + int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=0 .. +oneindig)
nu gaat er geprobeerd worden om deze integralen samen te voegen (grenzen aanpassen van 1 van de 2 integralen neem bv in dit geval de eerste integraal)
substitutie t = -u
= int(exp(-|-u|)*exp(iwu),u=0 .. +oneindig) + int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=0 .. +oneindig)
u terug t noemen
= int(exp(-|-t|)*exp(iwt),t=0 .. +oneindig) + int(exp(-|t|)*exp(-iwt),t=0 .. +oneindig)
samenvoegen van integralen
= int(exp(-|t|)*exp(iwt)+exp(-|t|)*exp(-iwt),t=0 .. +oneindig)
= int(exp(-t)*(exp(iwt)+exp(-iwt)),t=0 .. +oneindig)
en dan punt P nemen en de limiet van P-> +oneindig
int(exp(-t)*(exp(iwt)*exp(-iwt)),t=0 .. P) en dit zou (volgens mijn cursus) gelijk moeten zijn aan
exp(-1-w)*P/(-1-w) + exp(-1+i*w)*P/(-1+i*w) + 1/1+i*w +1/1-i*w
daar de limiet van nemen voor P-> +oneindig zou 2/1+w² geven.
Nuja , maple geeft dit als je het ingeeft, dus het klopt. Ik vraag mij gewoon af hoe hij die laatste integraal berekent :
int(exp(-t)*(exp(iwt)+exp(-iwt)),t=0 .. P) = exp(-1-w)*P/(-1-w) + exp(-1+i*w)*P/(-1+i*w) + 1/1+i*w +1/1-i*w
= int(exp(-t+iwt)+exp(-t-iwt)),t=0 .. P)
Maar hoe moet het nu verder?
Ik zie niet hoe je aan die twee laatste termen komt.
- Berichten: 24.578
Re: Fourierbeeld van een functie
Bijvoorbeeld:
\(\int_0^p {e^{ - t - i\omega t} } \,\mbox{d}t = \int_0^p {e^{ - t\left( {1 + i\omega } \right)} } \,\mbox{d}t\)
Denk eraan: je integreert naar t, die 1+iw is gewoon een constante. Doe een substitutie, zie je?"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: Fourierbeeld van een functie
Oei wat ben ik slecht. Ik zie mijn fout!! Ik dacht in mezelf die nul geeft toch 1, dus niet nodig om ze in te vullen, maar de noemer was ik vergeten. Daarom dat het niet uitkwam Ok . Bedankt voor alle hulp.
- Berichten: 24.578
Re: Fourierbeeld van een functie
Graag gedaan
Zo'n aha-erlebnis is veel nuttiger dan het volledig uitgeschreven krijgen (en dat zou me meer werk kosten )
Zo'n aha-erlebnis is veel nuttiger dan het volledig uitgeschreven krijgen (en dat zou me meer werk kosten )
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)