Ik snap dat de metriek kan worden gezien als een lineaire map tussen je raakruimte V en je coraakruimte V*
g: V --> V*
Ik snap ook dat de metriek kan worden gezien als een symmetrische lineaire map als
g: VxV --> R^n
Ik snap ook dat een vector kan worden gezien als een differentiaaloperator werkende op functies gedefinieerd op je variëteit. Dit laat je denken dat de set van differentiaaloperatoren \(\{ \partial_{\mu}\} \) een basis vormen voor je vectoren omdat ze de raakruimte in een punt p opspannen, en dat een vector V in zo'n punt p geschreven kan worden als
\(V = V^{\mu}\partial_{\mu}\)
In R^n is er een injectie tussen vectoren en directionele afgeleiden. Allemaal duidelijk. Maar dan rijst bij mij de vraag: wat is de norm van zo'n basisvector? De componenten van de metriek worden ook gedefinieerd als het inproduct tussen 2 basisvectoren \(e_{\mu} \), dus\(g_{\mu\nu} \equiv e_{\mu}\cdot e_{\nu}\)
waarbij het inproduct het "gewone cartesische product" is. Als we bijvoorbeeld overgaan van cartesische coordinaten naar poolcoordinaten in R^2 , dan hebben we\(e_{r} = \cos{\theta} e_{x} + \sin{\theta}e_{y} \\e_{\theta} = -r \sin{\theta} e_{x} + r \cos{\theta} e_{y}\)
Om dan de metriek uit te rekenen in poolcoordinaten krijg je\(g_{rr} = e_{r}\cdot e_{r} = (\cos^{2}{\theta} )e_{x}\cdot e_{x} + (\sin^{2}{\theta})e_{y} \cdot e_{y}\)
Hier moet dan 1 uitkomen, maar wat is bijvoorbeeld de numerieke waarde van\(\partial_{\mu}\cdot\partial_{\mu}\)
?Ik heb dus een beetje problemen met de overgang tussen de wiskundige definitie van basisvectoren ( die ik volgens mij goed begrijp ) en numerieke berekeningen doen. Ik snap dat je kunt definieren dat de cartesische basisvectoren orthonormaal zijn, maar definieer je dan simpelweg
\(\partial_{\mu}\cdot\partial_{\mu} \equiv 1\)
Want hier heb je juist weer de metriek in cartesische componenten voor nodig die gedefinieerd wordt door de basisvectoren.Nog een vraag betreffende dit: de Minkowski ruimte-tijd heeft de metriek \(g_{\mu\nu} =diag\{-1,+1,+1,+1 \} \). Dit zou dus betekenen dat de basisvectoren van je tijd, \( \partial_{t}\), zuiver imaginair moeten zijn volgens bovenstaande definitie (in Cartesische coordinaten zou je dus \( e_{t} = i \) hebben). Nou kreeg ik een tijdje geleden te horen dat dat nogal ouderwets is om dat zo op te vatten, maar volgens de definitie kan dit toch niet anders zijn?
Hoop dat m'n vragen duidelijk zijn
