[wiskunde] rechte,punt en vlak

peyster

Enkele maanden geleden kreeg ik onderstaande vraag op een examen

Gegeven rechte e ( x+2y+2z+1=0 en 2x+3y+2z-12=0) en

vlak α: 2x-2y+z+8=0

Bepaal punt P zodat d(P,α) = 6

Tot op heden heb ik hier nog geen oplossing voor gevonden, laat staan dat ik weet hoe ik hieraan kan beginnen.

Kan iemand mij helpen?

Phys

Je bedoelt: "bepaal punt P op de rechte e zodat..."?

peyster

De opgave was letterlijk zo gegeven, maar waaschijnlijk moet het punt P zich op de rechte e bevinden

Xenion

d staat voor afstand.

Bepaal P zodat de afstand van het punt tot de rechte 6 is.

En je moet dan waarschijnlijk nog dat punt op de rechte e hebben. Zeker dat je de opgave letterlijk hebt overgenomen?

Klintersaas

Xenion schreef:Bepaal P zodat de afstand van het punt tot de rechte 6 is.

En je moet dan waarschijnlijk nog dat punt op de rechte e hebben. Zeker dat je de opgave letterlijk hebt overgenomen?

Zoals Phys zegt ís P hoogstwaarschijnlijk het punt op de rechte. \(P\) ligt zeker niet in het vlak \(\alpha\), want dan geldt \(d(P,\alpha) = 0\) en dat zou nogal onzinnig zijn.

Wanneer we ervan uitgaan dat \(P\) op \(e\) ligt, dan hebben we genoeg informatie om deze opgave op te lossen. Je zou het als volgt kunnen aanpakken:

Voor een punt \(P(p_1, p_2, p_3)\) en een vlak \(\alpha \equiv ux +vy + wz + t = 0\) geldt

\(d(P,\alpha) = \frac{|up_1 + vp_2 + wp_3 + t|}{\sqrt{u^2 + v^2 + w^2}}\)

Voor een punt \(P(p_1, p_2)\) en een rechte \(e \equiv ux +vy + w = 0\) geldt

\(d(P,e) = \frac{|up_1 + vp_2 + w|}{\sqrt{u^2 + v^2}}\)

Vul je gegevens in en los op naar \(p_1\), \(p_2\) en \(p_3\). Let echter op, want de formule voor de afstand tussen een punt en een rechte die gegeven is, is die voor de vlakke meetkunde.[/i]

Klintersaas

EDIT: Denk er echter aan dat een rechte in de ruimte twee vergelijkingen heeft.

TD

Bepaal de coördinaten van een algemeen punt op de rechte, dit kan eenvoudig als je het gegeven stelsel cartesische vergelijkingen omzet naar een stelsel parametervergelijkingen. Gebruik dan onderstaande formule om uit te drukken dat de afstand van dit (lopend) punt tot het vlak 6 is en los op naar de parameter.

Voor een punt
\(@|İ|Ȱ|̤\)
EDIT: Denk er echter aan dat een rechte in de ruimte twee vergelijkingen heeft.
Waarschijnlijk bedoel je dat de rechte een <i>stelsel[/i] van (twee) cartesische vergelijkingen heeft - dat is niet hetzelfde.

Klintersaas

Waarschijnlijk bedoel je dat de rechte een stelsel van (twee) cartesische vergelijkingen heeft - dat is niet hetzelfde.

Inderdaad.

PS: Wat je ook zou kunnen doen:

De afstand van het punt tot het vlak is 6;
De afstand van het punt tot de rechte is 0 (het punt ligt namelijk op de rechte)

Nu heb je drie vergelijkingen (aangezien de rechte een stelsel van twee cartesische vergelijkingen - om het correct te zeggen - heeft) en drie onbekenden (de drie coördinaatgetallen van het punt). Invullen, stelsel oplossen en klaar.

Safe

@Klintersaas en @peyster

Je bedoelt misschien:

Bepaal de verg van de twee vl evenwijdig aan alpha op afstand 6 van alpha, dat geeft met rechte e twee maal 3 verg in x, y en z (welke oplosbaar zijn).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] rechte,punt en vlak

[wiskunde] rechte,punt en vlak

Re: [wiskunde] rechte,punt en vlak

Re: [wiskunde] rechte,punt en vlak

Re: [wiskunde] rechte,punt en vlak

Re: [wiskunde] rechte,punt en vlak

Re: [wiskunde] rechte,punt en vlak

Re: [wiskunde] rechte,punt en vlak

Re: [wiskunde] rechte,punt en vlak

Re: [wiskunde] rechte,punt en vlak