\( \sum_{k=1}^M \sum_{r=1}^k f( r) \cdot g(k,r)\)
=
\( \sum_{k=1}^M \sum_{r=1}^M \Theta (r<k)f( r) \cdot g(k,r)\)
Waarbij
\( \Theta\) een kunstmatig ingevoerde logische functie is die 1 geeft als aan de voorwaarde tussen de haken voldaan is en anders nul. Vermits r maximum tot k mag lopen geef ik dat als voorwaarde aan de theta-functie en dan mag mijn bovengrens tot M lopen vermits voor waarden van r groter dan k de sommatie toch nul wordt (door de theta-functie, en dat is ook hetgene die sommatie zegt, dat r maar tot k mag lopen)
Beiden sommen hangen nu niet meer van elkaar af, dus mag je ze wisselen
\( \sum_{k=1}^M \sum_{r=1}^M \Theta (r<k)f( r) \cdot g(k,r)\)
=
\( \sum_{r=1}^M\sum_{k=1}^M \Theta (r<k)f( r) \cdot g(k,r)\)
Nu staat er nog steeds bij die logische functie dat k groter moet zijn dan r, anders levert ze nul. Dus laat je de index k pas vanaf r beginnen, zodat het gevraagde er staat.
\( \sum_{r=1}^M\sum_{k=1}^M \Theta (r<k)f( r) \cdot g(k,r)\)
=
\( \sum_{r=1}^M\sum_{k=r}^M f( r) \cdot g(k,r)\)
Opmerking: in die theta-functie moet kleiner of gelijk staan, maar dat weet ik niet hoe ik dat in latex moet typen...
Anders zouden uw sommaties nog een index hoger moeten beginnen, maar dat is evident.
