Union als disjoint union

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 16-09-'08, 17:41

timwaagh

Gebruikersavatar
Berichten: 293

Union als disjoint union

Hallo,

ik vraag me iets af. is een union van een familie verzamelingen altijd te beschouwen als een union van niet-doorsnijdende verzamelingen? het antwoord zal wel ja zijn, maar toch...

voor een eindige hoeveelheid weet ik het denk ik wel:
\(A\cup B= (A / B) \cup B \)
\(A\cup B \cup C= ((A / B) / C) \cup (B / C) \cup C\)
enzovoort (wat met inductie wel hard gemaakt zal kunnen worden)

maar dit wordt een beetje lastig als je naar een aftelbare (dit was mijn oorspronkelijke doel), of zelfs nog verder gaat.

kunnen jullie hier iets mee?
Omhoog

Bericht 16-09-'08, 23:52

thermo1945

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Union als disjoint union

\(A\cup B= (A / B) \cup B \)
Waarom zou je eerst een paar elementen 'weggooien' als je ze later weer bij elkaar voegt tot één geheel, de vereniging?

Je handelingen lijken me zinloos en zinloos ingewikkeld.
Omhoog

Bericht 17-09-'08, 13:31

timwaagh

Gebruikersavatar
Berichten: 293

Re: Union als disjoint union

thermo1945 schreef:Waarom zou je eerst een paar elementen 'weggooien' als je ze later weer bij elkaar voegt tot één geheel, de vereniging?

Je handelingen lijken me zinloos en zinloos ingewikkeld.
ik laat daar zien dat de union van twee verzamelingen op te schrijven als de union van twee disjointe verzamelingen.
\(A/B\)
en
\(B\)
zijn disjoint (niet doorsnijdend). in een berekening zou je er misschien iets aan hebben bij het berekenen van een kans op een union van gebeurtenissen.

overigens had mijn docent vandaag precies dezelfde aanpak...nou blijft over...waarom? want eerlijk gezegd zie ik niet hoe dit meteen bewijst dat elke union van aftelbaar veel verzamelingen te zien is als een union van aftelbaar veel onderling disjointe verzamelingen. volgens mij mist er een stapje.
Omhoog

Bericht 18-09-'08, 13:17

The Black Mathematician

Berichten: 150

Re: Union als disjoint union

Volgens mij kan het in het algemeen wel, al heb je het keuzeaxioma nodig voor het geval dat je overaftelbaar veel verzamelingen hebt.

Wat je doet is dat je eerst een indexverzameling
\(A\)
neemt om je verzamelingen te labelen. Dus je verzamelingen noteer je als
\(X_\alpha : \alpha\in A\)
. Dan kies je (keuzeaxioma) een welorde
\(<\)
op
\(A\)
en vervolgens schrijf je
\(Y_\alpha=X_\alpha\setminus\left(\bigcup_{\beta<\alpha}X_\beta\right)\)
.

Dan
\(\bigcup_{\alpha\in A}Y_\alpha=\bigcup_{\alpha\in A}X_\alpha\)
, terwijl de
\(Y_\alpha\)
onderling disjunct zijn.

Laat mensen mij vooral corrigeren als ik het mis heb.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”