[wiskunde] afgeleide cosinusfunctie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 38

[wiskunde] afgeleide cosinusfunctie

Ik heb een vraagje ivm het bewijs van de afgeleide van de cosinusfunctie.

Ik was dus als volgt begonnen:

f(x) = cos x

f'(a) = lim x->a (f(x) - f(a)) / (x -a)

= lim x->a (cos x - cos a) / (x-a)

= lim x->a (-2 sin ((x+a) / 2) * sin ((x-a) / 2)) / (x-a) (=> formule van simpson dus)

= lim x->a (- sin ((x+a) / 2) / ((x-a) / 2)) * lim x->a sin ((x-a) / 2)

en als ik tot hier al juist ben, dan weet ik het vanaf hier helemaal niet mer zeker. Ik dacht om het laatste deel met sinx /x = 1 te doen. Is dit juist?

Maar dan met dat eerste stuk weet ik het niet zo goed. Ik dacht daar de "a" in te vullen...maar dan heb je beneden

(a-a)/2 en dan is dat eigenlijk toch 0/2 en dan is dat gelijk aan 0. Boven krijg je dan -sin a. Maar de noemer is volgens mijn (waarschijnlijk foute) berekening 0. En delen door nul mag toch niet.

Ik denk dat ik ergens iets over het hoofd zie of ergens iets verkeerd bereken dat mij niet opvalt. Waarschijnlijk een domme fout, maar ja. Hopelijk kan iemand mij helpen om het verder op te lossen.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie

Je doet alles goed en je moet
\(\lim_{\frac{x-a}{2} \rightarrow 0}\frac{\sin\frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}}=1\)
toepassen.

Berichten: 582

Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie

Had je volgende regel misschien ietsje anders opgeschreven, dan had je misschien meteen ingezien dat je
\(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
kon toepassen. Je hebt de termen wat ongelukkig gesplitst.
lim x->a (- sin ((x+a) / 2) / ((x-a) / 2)) * lim x->a sin ((x-a) / 2)
Edit: Safe was me voor!

Berichten: 38

Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie

Je doet alles goed en je moet
\(\lim_{\frac{x-a}{2} \rightarrow 0}\frac{\sin\frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}}=1\)
toepassen.
Maar ik heb toch (sin x + a ) / 2 staan in de teller? En jij maakt daar dan zomaar een min van? Ik denk dat ik weer iets niet snap :D

Of bedoel je dat ik onder mijn laatste term de x-a moest zetten en dan de eerste term gewoon met sin x / x = 1 moest berekenen?

Maar wat gebeurt er danmet die 2 in de eerste term?

Berichten: 582

Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie

Je hebt reeds staan...
\(\lim_{x \rightarrow a}\frac{-\sin\frac{x+a}{2}}{\frac{x-a}{2}} * \lim_{x \rightarrow a} \sin \frac{x-a}{2}\)
Waarom zou je dat niet mogen herschrijven tot...
\(\lim_{x \rightarrow a}\frac{\sin\frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}} * \lim_{x \rightarrow a} - \sin \frac{x+a}{2}\)
En als je even goed kijkt dan kan je de eerste limiet herleiden tot ..., zodat de afgeleide gelijk is aan ...?

Berichten: 38

Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie

Dus bij de eerste term is het de min wegwerken door in de term de plus in een min te veranderen; en bij de 2e term de min buiten te zetten om te compenseren wat je in de eerste term gedaan hebt?

Berichten: 582

Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie

Neen, het is louter een anders samennemen van de termen binnen de limiet... JIJ schreef dit
= lim x->a (-2 sin ((x+a) / 2) * sin ((x-a) / 2)) / (x-a) (=> formule van simpson dus)

= lim x->a (- sin ((x+a) / 2) / ((x-a) / 2)) * lim x->a sin ((x-a) / 2)
Je gaat over van 1 limiet naar 2 limieten door een term uit de teller af te splitsen, met name "sin ((x-a) / 2)". Waarom splitste je die term af, en niet "- sin ((x+a) / 2"?

Berichten: 38

Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie

Ah ja, nu snap ik het!

Bedankt om me te willen helpen!

Reageer