[wiskunde] afgeleide cosinusfunctie
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 38
[wiskunde] afgeleide cosinusfunctie
Ik heb een vraagje ivm het bewijs van de afgeleide van de cosinusfunctie.
Ik was dus als volgt begonnen:
f(x) = cos x
f'(a) = lim x->a (f(x) - f(a)) / (x -a)
= lim x->a (cos x - cos a) / (x-a)
= lim x->a (-2 sin ((x+a) / 2) * sin ((x-a) / 2)) / (x-a) (=> formule van simpson dus)
= lim x->a (- sin ((x+a) / 2) / ((x-a) / 2)) * lim x->a sin ((x-a) / 2)
en als ik tot hier al juist ben, dan weet ik het vanaf hier helemaal niet mer zeker. Ik dacht om het laatste deel met sinx /x = 1 te doen. Is dit juist?
Maar dan met dat eerste stuk weet ik het niet zo goed. Ik dacht daar de "a" in te vullen...maar dan heb je beneden
(a-a)/2 en dan is dat eigenlijk toch 0/2 en dan is dat gelijk aan 0. Boven krijg je dan -sin a. Maar de noemer is volgens mijn (waarschijnlijk foute) berekening 0. En delen door nul mag toch niet.
Ik denk dat ik ergens iets over het hoofd zie of ergens iets verkeerd bereken dat mij niet opvalt. Waarschijnlijk een domme fout, maar ja. Hopelijk kan iemand mij helpen om het verder op te lossen.
Ik was dus als volgt begonnen:
f(x) = cos x
f'(a) = lim x->a (f(x) - f(a)) / (x -a)
= lim x->a (cos x - cos a) / (x-a)
= lim x->a (-2 sin ((x+a) / 2) * sin ((x-a) / 2)) / (x-a) (=> formule van simpson dus)
= lim x->a (- sin ((x+a) / 2) / ((x-a) / 2)) * lim x->a sin ((x-a) / 2)
en als ik tot hier al juist ben, dan weet ik het vanaf hier helemaal niet mer zeker. Ik dacht om het laatste deel met sinx /x = 1 te doen. Is dit juist?
Maar dan met dat eerste stuk weet ik het niet zo goed. Ik dacht daar de "a" in te vullen...maar dan heb je beneden
(a-a)/2 en dan is dat eigenlijk toch 0/2 en dan is dat gelijk aan 0. Boven krijg je dan -sin a. Maar de noemer is volgens mijn (waarschijnlijk foute) berekening 0. En delen door nul mag toch niet.
Ik denk dat ik ergens iets over het hoofd zie of ergens iets verkeerd bereken dat mij niet opvalt. Waarschijnlijk een domme fout, maar ja. Hopelijk kan iemand mij helpen om het verder op te lossen.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie
Je doet alles goed en je moet
\(\lim_{\frac{x-a}{2} \rightarrow 0}\frac{\sin\frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}}=1\)
toepassen.-
- Berichten: 582
Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie
Had je volgende regel misschien ietsje anders opgeschreven, dan had je misschien meteen ingezien dat je
\(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
kon toepassen. Je hebt de termen wat ongelukkig gesplitst.Edit: Safe was me voor!lim x->a (- sin ((x+a) / 2) / ((x-a) / 2)) * lim x->a sin ((x-a) / 2)
-
- Berichten: 38
Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie
Maar ik heb toch (sin x + a ) / 2 staan in de teller? En jij maakt daar dan zomaar een min van? Ik denk dat ik weer iets niet snapJe doet alles goed en je moet\(\lim_{\frac{x-a}{2} \rightarrow 0}\frac{\sin\frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}}=1\)toepassen.
Of bedoel je dat ik onder mijn laatste term de x-a moest zetten en dan de eerste term gewoon met sin x / x = 1 moest berekenen?
Maar wat gebeurt er danmet die 2 in de eerste term?
-
- Berichten: 582
Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie
Je hebt reeds staan...
\(\lim_{x \rightarrow a}\frac{-\sin\frac{x+a}{2}}{\frac{x-a}{2}} * \lim_{x \rightarrow a} \sin \frac{x-a}{2}\)
Waarom zou je dat niet mogen herschrijven tot...\(\lim_{x \rightarrow a}\frac{\sin\frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}} * \lim_{x \rightarrow a} - \sin \frac{x+a}{2}\)
En als je even goed kijkt dan kan je de eerste limiet herleiden tot ..., zodat de afgeleide gelijk is aan ...?-
- Berichten: 38
Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie
Dus bij de eerste term is het de min wegwerken door in de term de plus in een min te veranderen; en bij de 2e term de min buiten te zetten om te compenseren wat je in de eerste term gedaan hebt?
-
- Berichten: 582
Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie
Neen, het is louter een anders samennemen van de termen binnen de limiet... JIJ schreef dit
Je gaat over van 1 limiet naar 2 limieten door een term uit de teller af te splitsen, met name "sin ((x-a) / 2)". Waarom splitste je die term af, en niet "- sin ((x+a) / 2"?= lim x->a (-2 sin ((x+a) / 2) * sin ((x-a) / 2)) / (x-a) (=> formule van simpson dus)
= lim x->a (- sin ((x+a) / 2) / ((x-a) / 2)) * lim x->a sin ((x-a) / 2)
-
- Berichten: 38
Re: [wiskunde] afgeleide cosinusfunctie
Ah ja, nu snap ik het!
Bedankt om me te willen helpen!
Bedankt om me te willen helpen!