\({a_n}\)
met \(|a_{n+1}-a_n| \leq \frac{1}{2}| a_n-a_{n-1}|\)
. Bewijs dat
\(a_n\)
Cauchy is.Ik weet dat:
\(|a_n-a_m| \leq \sum_{k=n}^m \left( \frac{1}{2} \right)^k |a_2-a_1|\)
Hoe nu verder?Laatste berichten
-
16:22
Rotatie van het heelal 29
-
16:07
Herleiden afmetingen vanaf een foto 3
-
00:49
Ervaringen met "herontdekkingen" 11
-
21:28
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
17:59
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
17:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Cauchyrij
-
- Berichten: 24.578
Re: Cauchyrij
Die |a_2-a_1| is constant en kan buiten de som; de som zelf is convergent (je kan de som bepalen) en willekeurig klein te krijgen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 150
Re: Cauchyrij
Klopt de volgende afleiding:
\( \displaystye \sum_{k=n}^{m}\left(\frac{1}{2}\right)^k |a_{2}-a_{1}| \)
Omdat:\( |a_{n}-a_{n-1}| \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}|a_{2}-a{1}|\)
, dus geldt:\(|a_{n}-a_{m}| \leq \left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} + \ldots + \left(\frac{1}{2}\right)^{m-1}\right\}|a_{2}-a_{1}| = \displaystye \sum_{k=n}^{m-1}\left(\frac{1}{2}\right)^k |a_{2}-a_{1}| \leq \displaystye \sum_{k=n}^{m}\left(\frac{1}{2}\right)^k |a_{2}-a_{1}|\)
-
- Berichten: 24.578
Re: Cauchyrij
Werkwijze ziet er oké uit, maar ik heb niet nagerekend of de machten overal kloppen (n-1 ipv n-2, dat soort dingen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 4.246
Re: Cauchyrij
Die |a_2-a_1| is constant en kan buiten de som; de som zelf is convergent (je kan de som bepalen) en willekeurig klein te krijgen.
\(|a_n-a_m| \leq \sum_{k=n}^m \left( \frac{1}{2} \right)^k |a_2-a_1| \leq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2}^k |a_2-a_1| = 2|a_2-a_1| \)
dus kies
\( \epsilon = 2 |a_2 - a_1 | \)
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 3.751
Re: Cauchyrij
neen, dat kan niet. epsilon is een willekeurig strikt positief getal. Maar gebruik in de plaats daarvan eensdirkwb schreef:\(|a_n-a_m| \leq \sum_{k=n}^m \left( \frac{1}{2} \right)^k |a_2-a_1| \leq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2}^k |a_2-a_1| = 2|a_2-a_1| \)
dus kies\( \epsilon = 2 |a_2 - a_1 | \)
\(|a_n-a_m| \leq \sum_{k=n}^m \left( \frac{1}{2} \right)^k |a_2-a_1| \leq \left( \frac{1}{2} \right)^n\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2}^k |a_2-a_1| = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}|a_2-a_1| \)
.-
- Berichten: 4.246
Re: Cauchyrij
Ik zie niet in waarom jouw antwoord beter is...eendavid schreef:neen, dat kan niet. epsilon is een willekeurig strikt positief getal. Maar gebruik in de plaats daarvan eens
\(|a_n-a_m| \leq \sum_{k=n}^m \left( \frac{1}{2} \right)^k |a_2-a_1| \leq \left( \frac{1}{2} \right)^n\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2}^k |a_2-a_1| = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}|a_2-a_1| \).
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 24.578
Re: Cauchyrij
Je hebt epsilon niet te "kiezen"; je moet tonen dat voor elke ("gegeven") epsilon, je een N kunt vinden zodat voor n,m>N geldt dat... <epsilon.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 3.751
Re: Cauchyrij
We moeten tonen dat voor elke
Kies N zó dat
Toon nu aan dat
\(\epsilon > 0\)
er een N bestaat zodat \(|a_n-a_m|<\epsilon\)
, \(\forall n,m > N\)
. Je kan dus onmogelijk je epsilon kiezen (er staat immers: 'voor elke'), je moet een N kiezen gegeven een epsilon. Kies N zó dat
\(N>1+\frac{\ln\left(\frac{|a_1-a_2|}{\epsilon}\right)}{\ln(2)}\)
.Toon nu aan dat
\(|a_n-a_m|<\epsilon\)
. Hierbij kan je post #6 gebruiken.-
- Berichten: 4.246
Re: Cauchyrij
Je hebt epsilon niet te "kiezen"; je moet tonen dat voor elke ("gegeven") epsilon, je een N kunt vinden zodat voor n,m>N geldt dat... <epsilon.
Inderdaad jullie hebben gelijk.We moeten tonen dat voor elke\(\epsilon > 0\)er een N bestaat zodat\(|a_n-a_m|<\epsilon\),\(\forall n,m > N\). Je kan dus onmogelijk je epsilon kiezen (er staat immers: 'voor elke'), je moet een N kiezen gegeven een epsilon.
Dus in principe wil je altijd een n laten staan zodat grote N kan kiezen?Kies N zó dat
\(N>1+\frac{\ln\left(\frac{|a_1-a_2|}{\epsilon}\right)}{\ln(2)}\).
Toon nu aan dat\(|a_n-a_m|<\epsilon\). Hierbij kan je post #6 gebruiken.
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 3.751
Re: Cauchyrij
De strategie voor je bewijs moet inderdaad de intuïtie die TD reeds aanbracht vertolken. Als n en m voldoende groot zijn, moet het rechterlid van je ongelijkheid voldoende klein worden. Zodra je de afschatting zo hebt herschreven komt alles in orde.Dus in principe wil je altijd een n laten staan zodat grote N kan kiezen?
-
- Berichten: 4.246
Re: Cauchyrij
Ik volg de laatste twee stappen niet wat gebeurt daar?eendavid schreef:neen, dat kan niet. epsilon is een willekeurig strikt positief getal. Maar gebruik in de plaats daarvan eens
\(|a_n-a_m| \leq \sum_{k=n}^m \left( \frac{1}{2} \right)^k |a_2-a_1| \leq \left( \frac{1}{2} \right)^n\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2}^k |a_2-a_1| = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}|a_2-a_1| \).
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 24.578
Re: Cauchyrij
Die som is 2, dus er valt een factor 1/2 weg.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.556
Re: Cauchyrij
Er ontbreekt daar overigens een haakje:Die som is 2
\(\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k=2\)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 4.246
Re: Cauchyrij
nee, ik bedoel die twee sommen hij haalt een (1/2)^n erbij hoe komt hij eraan?Die som is 2, dus er valt een factor 1/2 weg.
Quitters never win and winners never quit.
