[wiskunde] afleidbaarheid

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 14-10-'08, 00:19

ntstudent

Gebruikersavatar
Berichten: 577

[wiskunde] afleidbaarheid

Hallo,

een kleine vraag over differentieerbaarheid. Stel ik heb een functie
\(y(x) = |x|\)
, dan is deze functie nie afleidbaar in punt x=0. Maar ik snap niet zo goed wat de definitie is van afleidbaarheid.

Betekent dat, dat ik ook bijv. de functie
\(y(x)=x^2\)
bij x=0 ook niet is af te leiden? Zo ja, kan ik dan zeggen dat ik bij punten waar de afgeleide = 0 niet af te leiden valt?

Bedankt voor het beantwoorden van mn vragen.
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Omhoog

Bericht 14-10-'08, 00:37

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

Heb je afgeleiden al op school behandeld, of op basis van zelfstudie?

Uit de andere topic weet ik dat je limieten nog aan het leren bent, dit moet je goed begrijpen voor je naar afgeleiden overgaat: de definitie van de afgeleide is immers een limiet!

Ken je de meetkundige betekenis van de afgeleide al? Dan is het eenvoudig te zien waarom |x| niet afleidbaar is in 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 14-10-'08, 00:42

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

Afleidbaar wil zeggen dat
\(f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
bestaat.

Als f(x)=|x| dan bestaat die limiet niet voor x=0 (want is 1 voor h-waarden boven de 0, en -1 voor h-waarden onder de 0).

Als f(x)=x2 dan bestaat die limiet wel, daar komt 2x uit.

Ik snap niet precies wat je met die laatste vraag bedoelt, maar "de afgeleide = 0" en "valt niet af te leiden" sluiten elkaar uit. Als de afgeleide ergens 0 is, bestaat hij daar dus.

(edit) oh, ik zie nu TD's reactie.. als je nog niet bekend bent met limieten kun je daar inderdaad beter eerst vertrouwd mee raken
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 14-10-'08, 09:42

ntstudent

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

Hallo, het is meer op basis van universiteit. Ik zie namelijk vragen van hoofdstuk 5 al vragen over afleidbaarheid, dus gaf dat een aanleiding voor mij om te denken dat je het ook kon uitleggen zonder limieten. (Hoofdstuk 6 is limieten...)

Is de betekenis van
\(|x| = \sqrt{x^{2}}\)
? En ik snap niet zo goed wat Rogier bedoelt :D .
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Omhoog

Bericht 14-10-'08, 11:29

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

Hallo, het is meer op basis van universiteit. Ik zie namelijk vragen van hoofdstuk 5 al vragen over afleidbaarheid, dus gaf dat een aanleiding voor mij om te denken dat je het ook kon uitleggen zonder limieten. (Hoofdstuk 6 is limieten...)
Vreemd dat jullie afgeleiden voor limieten zien - hoe is de afgeleide in jouw cursus dan gedefinieerd?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 14-10-'08, 15:01

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

ntstudent schreef:Hallo,

een kleine vraag over differentieerbaarheid. Stel ik heb een functie
\(y(x) = |x|\)
, dan is deze functie nie afleidbaar in punt x=0. Maar ik snap niet zo goed wat de definitie is van afleidbaarheid.
Waarom maak je geen grafiek van deze functie, dan moet je het eigenlijk direct 'zien'.

Je hebt nl al vragen gesteld over linker- en rechterlimiet, dit is nu typisch zo'n toepassing.

Opm: Ik heb ivm die limieten je een weervraag gesteld die ongelukkig genoeg door een 'ander' (EvilBro) beantwoord werd, maar niet door jou.
Omhoog

Bericht 14-10-'08, 19:18

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

Hopelijk zie je dat x=0 een 'bijzonder' punt is:

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(-5,5,-1,6,300,300,600,600,'abs(x)')</script><!--graphend-->
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 15-10-'08, 00:06

ntstudent

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

Ik snap het nu =):
\( y = |x|\)
\(\lim_{x \to 0} = \frac{f'(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta - x}\)
invullen, dan krijgen we:
\(\lim_{x \to 0} = \frac{|x|}{x}\)
en als je die grafiek bekijkt zie je dat er twee rechte lijnen zitten en precies op punt 0 zie je de "overgang" net als bij een entier functie. Daardoor kan het niet in punt 0.

Dit klopt toch?
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Omhoog

Bericht 15-10-'08, 00:24

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

Je hebt het idee door, maar je notatie niet helemaal juist.

Je definitie van de afgeleide verkeerd. De uitdrukking
\(\lim_{x\to 0}\)
heeft geen betekenis: je neemt een limiet van iets! Er moet dus iets achter de
\(\lim\)
. Vervolgens stel je dit gelijk aan een quotiënt waar de afgeleide in voorkomt? Terwijl je net de afgeleide wilt definiëren. Kijk daar nog eens goed naar.

Het moet zijn:
\(f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\)
of
\(f'(x)=\lim_{\Delta x\to x}\frac{f(\Delta x)-f(x)}{\Delta x-x}\)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 15-10-'08, 00:39

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

Je hebt al gezien dat er linker- en rechterlimieten bestaan. Door deze in de definitie van de afgeleide te gebruiken, krijg je ook de linker- en rechterafgeleide. Net zoals bij limieten, geldt ook hier dat "de afgeleide" pas bestaat als linker- en rechterafgeleide aan elkaar gelijk zijn: hier verschillen die in x = 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 18-10-'08, 20:09

ntstudent

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

\(f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\)
, een klein vraagje met uw formule:

ik vul dus in als volgt:
\(f(x+\Delta x)\)
[orginele formule f(x)],
\(f(x)\)
[de orginele formule in het punt waar we naar toe gaan met het limiet],
\(\Delta x\)
[blijft gewoon x].

Of heb ik dit fout?
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Omhoog

Bericht 18-10-'08, 20:10

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

Je hebt het goed (denk ik): gegeven f(x) vervang je x ook door x+h (ik neem even h, dat typt eenvoudiger) en je maakt het verschil f(x+h)-f(x). Dit deel je door h en hiervan neem je de limiet voor h gaande naar 0. Begrijp je wat er meetkundig gebeurt?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 18-10-'08, 20:36

ntstudent

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

Uhm ik denk het niet :D sorry...

PS: ik merk wel dat plaatjes inderdaad bij uitleggen meer zeggen dan duizend woorden =p
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Omhoog

Bericht 18-10-'08, 20:46

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

Afbeelding

We willen de raaklijn aan de functie f(x) in het punt A = (x,f(x)). Daarvoor nemen we eerst een punt B dat iets verder ligt, namelijk met coördinaten (x+h,f(x+h)), dus de x-coördinaat van A vermeerderd met een toename h. De lijn door A en B is nu een benadering voor de raaklijn die we zoeken. De benadering kunnen we verbeteren door B dichter bij A te nemen, of - met andere woorden - door de toename h kleiner te nemen.

De richtingscoëfficiënt van de lijn door A en B is het verschil van y-waarden gedeeld door het verschil van x-waarden, dat weet je misschien nog van de vlakke meetkunde? Dat is dus:
\(\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{{x + h - x}} = \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\)
Als we B steeds dichter naar A laten komen, dus h steeds kleiner nemen, nadert de lijn door A en B naar de gezochte raaklijn. De uitdrukking voor de richtingcoëfficiënt van hierboven, nadert dan ook naar de richtingcoëfficiënt van de gezochte raaklijn. We nemen nu de limiet voor h naar 0, dit geeft ons precies de richtingcoëfficiënt die we zoeken: dit is de afgeleide van f in het punt A.
\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} = f'\left( x \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-10-'08, 13:56

ntstudent

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] afleidbaarheid

Okay dus als ik wil kijken vul ik de dingen in deze formule en kijk ik of dat ene punt een "entier" functie stukje is om te kijken of het mogelijk is in dat punt?
\(f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\)
En die
\(\Delta x\)
kan ik ALTIJD als x invullen, klopt dat?
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”